Le théorème des accroissements finis

Le théorème de la valeur moyenne établit une relation entre le taux moyen de variation d’une fonction sur un intervalle et son taux de variation instantané à un moment donné dans cet intervalle.

Le théorème de la valeur moyenne affirme que si une fonction est continue sur un intervalle fermé et différentiable sur l’intervalle ouvert, alors il existe au moins un point c dans l’intervalle ouvert où le taux de variation instantané est égal au taux moyen de variation entre les extrémités a et b.

Pour relier cela à un exemple réel, considérons un véhicule circulant sur une route entre deux points : sa vitesse est initialement faible, augmente à mi-chemin, puis diminue vers la fin.

Une droite tangente touche la courbe en un seul point, et la pente de cette droite donne le taux instantané de variation de vitesse à ce moment. La pente d’une ligne secante, qui traverse deux points sur la courbe, montre le taux moyen de variation de vitesse entre ces points.

Cette pente secante est égale à la variation globale de la valeur de la fonction le long de l’intervalle fermé divisée par la longueur horizontale de l’intervalle.

Le théorème garantit qu’au moins un instant pendant le trajet, l’accélération instantanée doit avoir été exactement égale à l’accélération moyenne.