Théorème de Rolle

Le théorème de Rolle affirme que si une fonction est continue sur un intervalle fermé, différentiable sur l’intervalle ouvert, et égale aux deux extrémités, alors la dérivée est nulle à un point entre les extrémités.

Considérons une route sur laquelle un véhicule grimpe, atteint un sommet, puis descend.

Puisqu’elle commence et se termine à la même hauteur, il doit y avoir un point où la montée devient une descente. À ce moment-là, la pente devient nulle, satisfaisant le théorème de Rolle.

Une fonction sur un intervalle fermé peut prendre diverses formes, toutes pouvant satisfaire le théorème de Rolle si les conditions sont remplies.

Certaines fonctions peuvent avoir plus d’un point où la dérivée est nulle, comme lorsqu’il y a à la fois des maxima et des minima locaux dans l’intervalle.

En revanche, l’altitude d’un train sur une voie plate est représentée graphiquement comme une ligne horizontale. Ici, chaque point le long de la piste satisfait le théorème de Rolle, car la dérivée est nulle partout sur cette droite.