Intégrale définie

Considérons une fonction sur un intervalle fermé. Pour approximer l’aire sous la courbe, divisez l’intervalle en sous-intervalles égaux, formant des rectangles de largeur égale.

Sélectionnez un point arbitraire dans le sous-intervalle et utilisez la valeur de la fonction là comme hauteur du rectangle. En multipliant la hauteur par la largeur, on obtient la surface de ce rectangle. La surface totale sous la courbe est approximée en sommant les aires de tous les rectangles et on parle de somme de Riemann.

L’intégrale définie d’une fonction sur un intervalle donné est définie comme la limite de sa somme de Riemann lorsque le nombre de sous-intervalles tend vers l’infini et que la largeur de chaque rectangle devient infinitésimalement petite, à condition que cette limite existe.

Par exemple, considérons une voiture voyageant à une vitesse variable. Divisez le temps total de trajet en intervalles de temps égaux.

Dans chaque intervalle, sélectionnez un point temporel arbitraire et prenez la vitesse correspondante. Multipliez la vitesse par la largeur de l’intervalle pour estimer la distance parcourue.

La somme de ces éléments forme une somme de Riemann, et dans cet exemple, l’aire sous la courbe est physiquement interprétée comme la distance parcourue par la voiture. Lorsque la vitesse reste positive, la distance totale est déterminée en intégrant la fonction de vitesse dans les limites.