Intégrales définies : sommes de puissances

En intégrales définies, les formules de somme pour les entiers, carrés et cubes consécutifs estiment l’aire à l’aide de sommes de Riemann. Ils simplifient les calculs sur une séquence ou un motif.

Considérons une section d’un grand théâtre, où la première rangée a un siège, et chaque nouvelle rangée ajoute un siège supplémentaire, formant une séquence allant jusqu’à 35 rangées.

Le nombre total de sièges est obtenu en utilisant la formule somme des n premiers entiers consécutifs, où n est le nombre de lignes. Après substitution et résolution, le nombre total de sièges peut être facilement calculé.

Un concept similaire apparaît dans les supermarchés, où les canettes sont empilées en pyramide carrée pour être exposées. Chaque couche comporte un nombre carré de boîtes — une sur le dessus, quatre sur la deuxième couche, neuf sur la troisième, et ainsi de suite.

Pour déterminer le nombre total de cans dans un affichage à cinq couches, on utilise la formule de la somme des carrés, où n est le nombre de couches. En substituant la valeur de n dans la formule et en simplifiant on obtient le nombre total de boîtes utilisées dans la pyramide.

Si l’affichage suit un motif d’empilement basé sur des cubes, la formule de la somme des cubes trouve instantanément le nombre total.