Propriétés de l’intégrale définie : résolution de problèmes

Considérons l’intégrale définie d’une fonction arbitraire qui représente l’aire sous la courbe.

Si la limite inférieure est fixe et que la limite supérieure se voit attribuer une variable, l’intégrale définie résultante se comporte alors comme une fonction de x, g(x) appelée fonction d’accumulation. Si x change, la surface sous la courbe change également.

La dérivée de g(x) montre comment l’aire change, ce qui peut être trouvé en revenant à la définition de la limite.

Dans ce contexte, g(x + h) − g(x) représente l’aire d’une fine bande verticale sous la courbe entre x et x + h. À mesure que cette bande devient infiniment étroite, sa surface peut être approximée par un rectangle de largeur h et de hauteur f(x).

Alors sa dérivée est la fonction dans l’intégrande, f(x). C’est la première version du théorème fondamental du calcul différentiel.

Par exemple, dans un circuit RC en série, la charge présente dans le condensateur à un moment donné t est représentée par l’intégrale.

Le courant à travers le condensateur, le taux de variation instantané de sa charge, est égal à l’expression dans l’intégrande par le théorème fondamental du calcul.