Théorème fondamental de l’analyse II

La seconde partie du théorème fondamental du calcul relie les antidérivées aux intégrales définies. Il trouve l’accumulation totale exacte du taux d’une fonction sur un intervalle spécifique.

Si une fonction est continue sur un intervalle fermé, l’intégrale définie est égale à la valeur de l’antidérivée à la limite supérieure moins sa valeur à la limite inférieure.

Cela évite les approximations de somme de Riemann, qui estiment l’aire en utilisant de nombreux rectangles étroits sous la courbe.

L’antidérivée choisie n’affecte pas le résultat final. Par exemple, G de x peut différer d’une autre antidérivée par une constante C, mais C s’annule lorsqu’on soustrait des valeurs aux extrémités de l’intervalle.

Une application courante consiste à trouver le déplacement net d’un objet en utilisant sa fonction de vitesse.

Le déplacement net pour un intervalle de temps donné, allant de 1 seconde à 4 secondes, est l’aire sous le graphique vitesse-temps.

Pour calculer cela, on trouve d’abord l’antidérivée de la fonction de vitesse — cela donne la fonction position. Ensuite, en utilisant le théorème, évaluez la position aux extrémités de l’intervalle. Soustrayons la valeur de la fonction position à 1 seconde de sa valeur à 4 secondes pour obtenir le déplacement net.