Équations du second degré dans l’ensemble des nombres complexes

Les équations du second degré dans lesquelles le discriminant — l’expression sous la racine carrée dans la formule du second degré — a une valeur négative n’ont pas de solutions réelles.

Pour les résoudre, le système de numération est étendu pour inclure les nombres complexes en utilisant l’unité imaginaire i, définie comme la racine carrée d’un moins un.

Le discriminant détermine la nature de la solution ; Un discriminant positif donne deux solutions réelles inégales.

Un discriminant zéro donne une solution réelle répétée, ce qui signifie que les deux solutions de la formule quadratique sont égales.

Un discriminant négatif donne deux solutions complexes : les conjugués non réels et complexes, c’est-à-dire les paires de nombres complexes avec des parties réelles égales et les parties imaginaires avec des signes opposés.

Un exemple d’une telle équation quadratique a des solutions incluant l’unité imaginaire i, résultant d’un discriminant négatif.

En substituant ces solutions complexes dans l’équation d’origine, on obtient les mêmes valeurs des deux côtés, confirmant leur validité.

Considérons un rectangle d’un périmètre de 20 cm, d’une aire de 30 cm². En substituant l’équation du périmètre dans l’expression de l’aire, on obtient une équation du second degré avec un discriminant négatif, ce qui conduit à des racines complexes, montrant qu’aucun rectangle réel ne peut exister.