3.5
Règles de définition des fonctions
Une relation est considérée comme une fonction lorsque chaque valeur d’entrée x est associée à une seule et unique valeur de sortie y. Par exemple, l’…
Une équation définit une fonction lorsque chaque entrée du domaine ne donne qu’une seule sortie dans la plage. Si une seule entrée du domaine donne deux sorties différentes de la plage, la relation n’est pas une fonction.
Les tables de fonctions suivent la même règle, si une table donne plus d’une sortie pour la même entrée, elle ne définit pas de fonction.
Sur un graphique, si deux points partagent la même valeur x mais ont des valeurs y différentes, alors il ne s’agit pas d’une fonction.
Un graphique représente une fonction s’il satisfait au test de la droite verticale, c’est-à-dire qu’aucune ligne verticale ne coupe le graphique plus d’une fois.
Par exemple, une parabole latérale échoue au test de la ligne verticale parce que des lignes verticales l’intersectent en deux points.
La division de cette parabole en parties supérieure et inférieure crée deux fonctions distinctes. Chacun d’entre eux réussit le test de la ligne verticale.
En inversant les rôles de x et y dans une parabole latérale, on peut définir x comme une fonction de y tant que chaque valeur y ne correspond qu’à une seule valeur x.
Par exemple, un distributeur automatique en état de marche est une excellente illustration d’une fonction : chaque bouton appuyé depuis le domaine donné correspond à un et un seul en-cas spécifique de la gamme.
Q1: What makes a relation a function?
A relation is a function when each input from the domain corresponds to exactly one output in the range. If a single input produces two different outputs, the relation fails to be a function. This one-to-one correspondence is the fundamental requirement for any equation, table, or graph to define a function.
Q2: How does the vertical line test determine if a graph is a function?
The vertical line test checks whether any vertical line intersects a graph more than once. If a vertical line crosses the curve at two or more points, the graph fails the test and does not represent a function. A sideways parabola, for example, fails because vertical lines intersect it at two different points.
Q3: Can a non-function be converted into separate functions?
Yes, a non-function can often be split into multiple valid functions. For instance, a sideways parabola that fails the vertical line test can be divided into upper and lower parts, each passing the test independently. Similarly, the equation y² = x can be split into two separate functions.
Q4: Why doesn't a function table with repeated inputs define a function?
A function table must assign exactly one output to each input. If the same input appears multiple times with different outputs, the table violates the definition of a function. This principle applies whether data is presented in a table, equation, or graph format.
Q5: What is an example of a function in everyday life?
A vending machine illustrates function behavior perfectly. Each button pressed from the available domain corresponds to exactly one specific snack from the range. This one-to-one relationship between input and output mirrors how mathematical functions operate and relates to introduction to one to one functions.
Q6: How can reversing x and y values create a function from a non-function?
Reversing the roles of x and y can define x as a function of y instead. For a sideways parabola, treating y as the input and x as the output allows each y-value to correspond to only one x-value, satisfying the function definition and passing the vertical line test.
Q7: What distinguishes an equation that defines a function from one that does not?
An equation defines a function if every x-value produces exactly one y-value. For example, y = 2x + 5 is a function because each input yields a unique output. However, x = y² + 1 is not a function of x because a single x-value corresponds to multiple y-values.