Le théorème du binôme

Imaginez que vous disposez une rangée de fleurs, chaque endroit contenant soit une rose, soit une tulipe.

Le nombre total de combinaisons est donné par a plus b élevé à la puissance n, où n est le nombre de fleurs, et a et b représentent respectivement les roses et les tulipes. Le théorème binomial donne le nombre de façons d’agencer k tulipes et (n-k) roses.

L’expansion de a plus b élevée à la puissance n produit des termes indexés par k de zéro à n, y compris un coefficient binomial.

Un coefficient binomial, écrit « n choisir k », est défini comme la factorielle de n divisée par le produit de la factorielle k et de la factorielle n moins k .

Pour comprendre, considérons que n est égal à trois et k est égal à deux. Le coefficient donne des moyens uniques de choisir deux positions pour les tulipes sur trois endroits.

L’expansion inclut également les puissances de chaque variable : la puissance d’une variable diminue tandis que celle de l’autre augmente.

Le terme général implique le coefficient binomial multiplié par la première variable élevée à n moins k et la deuxième variable élevée à k.

Tout comme l’arrangement des fleurs simplifie la planification, le théorème binomial simplifie l’expansion des binômes et le calcul des coefficients pour les grandes puissances.