Calcul du volume par intégration des aires de sections transversales

Pour les solides dont les zones de section transversale sont connues, le volume est déterminé en intégrant ces zones le long d’un axe perpendiculaire aux tranches.

Considérons un tétraèdre de hauteur h et une base qui est un triangle équilatéral de face a.

L’origine est placée au sommet supérieur, l’axe des y s’étendant le long de la hauteur.

Les sections transversales prises perpendiculairement à cet axe forment de plus petits triangles équilatéraux qui augmentent de taille du sommet à la base.

Avec un côté de base parallèle à l’axe des x, la longueur du côté de chaque petit triangle équilatéral à hauteur y est trouvée à l’aide de triangles similaires. Elle évolue en y sur h multipliée par a.

L’aire de chaque triangle équilatéral est égale à 3 sur 4 fois le carré de son côté. Ces zones montrent les coupes transversales changeantes le long de la hauteur.

Le volume du tétraèdre est déterminé en intégrant ces aires du sommet à la base. Le résultat est proportionnel au produit de la hauteur et du carré du côté de la base.

Les géomètres utilisent cette méthode pour déterminer le volume d’un tas de gravier irrégulier en mesurant des sections transversales changeantes et en les intégrant pour des estimations précises des matériaux.