Intégration par parties : intégrales définies

Les intégrales définies de produits de deux fonctions sur des intervalles fixes peuvent être résolues en utilisant l’intégration par parties.

Pour résoudre le côté droit de cette expression, la différence du produit des fonctions sera évaluée entre les extrémités de l’intervalle, et le terme restant sera traité comme une intégrale définie.

Un exemple utile est l’intégrale de la fonction tangente inverse. Comme aucune formule intégrale standard n’existe pour cette fonction, l’intégrande est traité comme un produit de la tangente inverse et de la constante 1.

L’inverse de la tangente est prise comme fonction à différencier, et la constante est intégrée.

En substituant dans la formule d’intégration par parties, le premier terme peut être résolu en évaluant directement le produit aux extrémités. L’intégrale restante peut alors être résolue par substitution.

Une nouvelle variable, t, est fixée égale à 1 plus x au carré et les limites d’intégration sont ajustées. L’intégrale devient alors une expression réciproque qui se simplifie en une forme logarithmique.

Le logarithmique naturel de un est égal à zéro, donc l’expression finale se simplifie pour montrer la surface sous la courbe entre les deux limites.