Substitution trigonométrique

Les satellites Molniya, connus pour leurs orbites hautement elliptiques, tracent des régions distinctes de l’espace à chaque révolution autour de la Terre.

Pour estimer la surface enfermée, l’orbite est modélisée comme une ellipse dans sa forme standard, qui est ensuite réarrangée en une expression impliquant un terme à racine carrée.

Comme l’ellipse est symétrique par rapport aux deux axes, l’aire dans le premier quadrant est calculée par intégration, puis multipliée par quatre pour obtenir l’aire totale.

Ici, l’intégration directe est difficile en raison de la racine carrée. Pour résoudre cela, la substitution trigonométrique est utilisée en substituant x en fonction de la fonction sinus. Cette substitution convertit le terme racine carrée en une fonction cosinus simple, et la différentielle change en conséquence.

Les limites d’intégration sont ensuite mises à jour pour correspondre au domaine angulaire, allant de zéro à pi sur deux. L’intégrande est réécrit à l’aide d’une identité trigonométrique pour simplifier le processus d’intégration. Cette intégrale définie est évaluée sur les nouvelles limites.

L’expression finale donne la surface totale balayée par le satellite sur une orbite complète.