Substitution rationalisante

Une intégrale avec une fonction non rationnelle est difficile à évaluer avec des méthodes standard.

Considérons une tige dont la densité de masse linéaire est donnée en termes de densité linéaire constante, d’une longueur caractéristique et de la distance par rapport au côté gauche.

L’objectif est de déterminer la masse de la tige, ce qui nécessite d’intégrer cette fonction de densité sur la longueur de la tige.

Les racines du cube compliquent l’intégrale, donc une substitution rationalisante devient utile.

Introduire une nouvelle variable u, définie comme u égal à la racine cubique de x, convertit l’expression en une forme rationnelle. À partir de là, x peut être pris comme le cube de u, et le différentiel dx en découle en conséquence. Les limites d’intégration sont ajustées pour correspondre à la nouvelle variable.

En substituant ces expressions dans l’intégrale, on obtient une équation entièrement écrite en termes de u. Après avoir fait ces hypothèses, l’intégrale se simplifie en une forme polynomiale simple.

Cette intégrale transformée est plus gérable, et la division longue polynomiale aide à simplifier la fonction rationnelle résultante.

Après réécriture de l’expression en termes de u, évaluer l’intégrale avec les limites mises à jour donne la masse totale de la tige.

De cette manière, l’intégrale est résolue en utilisant la substitution rationalisante.