Intégrales impropres : intervalles infinis

Une intégrale est considérée comme impropre en raison d’un intervalle infini lorsque la limite supérieure ou inférieure d’intégration s’étend à l’infini, créant une région non bornée sous la courbe.

Dans ce cas, la borne infinie est remplacée par une variable, et l’intégrale est évaluée en prenant la limite lorsque cette variable tend vers l’infini.

Cette méthode aide à déterminer si l’aire totale sous la courbe reste finie même sur un domaine infini.

Un exemple pratique consiste à calculer l’intensité totale intégrée de la lumière qui traverse un milieu, comme le brouillard, sur une distance infinie, en supposant que le milieu soit uniforme.

Dans de tels cas, l’intensité lumineuse diminue avec la distance, suivant un motif de désintégration exponentielle.

Pour trouver l’intensité intégrée totale, la limite supérieure infinie est d’abord remplacée par une variable, t.

La fonction d’intensité est alors intégrée de zéro à t, et les limites d’intégration sont substituées pour donner une expression incluant un terme exponentiel.

La dernière étape consiste à prendre la limite lorsque t tend vers l’infini, où le terme exponentiel tend vers zéro, laissant une valeur finie.

Cela confirme que l’intensité totale intégrée — l’aire sous la courbe — peut rester finie même avec un domaine infini.