Applications de l’intégration pour déterminer des centres de masse

Considérons une planche équilibrée sur un pivot avec deux masses inégales. Le système atteint l’équilibre de rotation lorsque le couple net est nul.

Le couple est la force multipliée par la distance depuis le pivot. En équilibre de rotation, le pivot est aligné avec le centre de masse du système.

Pour plusieurs masses discrètes, le centre de masse est égal à la somme des moments — définis comme masse multipliée par la position — due à chaque masse divisée par la masse totale.

Ce concept s’applique également à un système continu, comme une tige fine traitée comme un objet unidimensionnel avec une densité de masse linéaire. Le centre de masse est donné par le rapport entre le moment total de la tige et sa masse totale.

Ici, la tige est traitée comme composée d’un nombre infini d’éléments de petite masse. Chaque petit élément a une masse égale à la densité linéaire multiplicée par une toute petite longueur.

Le moment de chaque élément est égal à sa distance à l’une des extrémités de la tige multipliée par sa petite masse.

Pour calculer le moment total de la tige, ces petits moments élémentaires sont sommés à l’aide d’une somme de Riemann.

Lorsque la taille de ces petits éléments tend vers zé