Théorème de Pappus

Le théorème de Pappus pour le volume relie la géométrie d’une région plane au volume de son solide de révolution, sans utiliser de techniques d’intégration comme la méthode du disque.

Le théorème affirme que lorsqu’une région plane avec un centroïde connu tourne autour d’un axe, le volume résultant est égal à l’aire de la région multipliée par la distance parcourue par son centroïde le long du trajet circulaire.

Par exemple, considérons une forme tridimensionnelle qui ressemble à un donut, appelée tore. Il se forme en faisant tourner un cercle de rayon r autour d’une droite dans son plan qui ne coupe pas le cercle.

Cette section circulaire génère le solide lors de la rotation.

Le centroïde du cercle se trouve à une distance R de l’axe de rotation.

Au fur et à mesure que le cercle tourne, son centroïde suit un trajet circulaire d’une longueur égale à sa circonférence.

En utilisant le théorème, le volume du tore est déterminé en multipliant l’aire de la section transversale par la distance parcourue par le centroïde.

Un exemple pratique est l’utilisation de réservoirs toroïdaux pour stocker le carburant dans des espaces étroits. Le théorème de Pappus utilise la surface et la longueur du chemin du centroïde pour trouver le volume, ce qui aide à déterminer la capacité de carburant disponible.