Introduction aux équations différentielles

Une équation différentielle est une équation qui contient une fonction inconnue et une ou plusieurs de ses dérivées. L’ordre d’une équation différentielle est donné par la dérivée du plus haut ordre présente dans l’équation.

Lorsque l’équation ne concerne que la première dérivée, on l’appelle du premier ordre. Si cela implique la dérivée seconde, on parle du second ordre, et ainsi de suite.

Par exemple, un système ressort-masse peut être modélisé comme un simple oscillateur harmonique, qui égalise la force nette sur la masse et la force de restauration dans le ressort, décrite par la loi de Hooke pour les ressorts linéaires.

La force du ressort agit dans la direction opposée au déplacement et est proportionnelle à la distance que la masse déplace depuis sa position d’équilibre.

La deuxième loi de Newton relie la force nette sur la masse à son accélération. La combinaison de ces deux relations donne une équation dans laquelle la masse multipliée par l’accélération est égale à une constante négative multipliée par le déplacement.

En réécrivant l’accélération comme la dérivée seconde du déplacement dans le temps, on obtient une équation différentielle du second ordre.

Cette seconde dérivée relie le mouvement du système à une équation différentielle.