Équations différentielles séparables

Une équation séparable est une équation différentielle du premier ordre qui peut être décomposée en deux parties indépendantes — l’une contenant seulement x et l’autre seulement y.

Les termes y sont placés d’un côté et les termes x de l’autre, permettant une intégration séparée.

Par exemple, imaginez une tasse de thé chaud refroidissant dans une pièce.

La vitesse de refroidissement du thé est proportionnelle à la différence entre sa température et la température ambiante. Un signe négatif est ajouté à la constante de proportionnalité k pour indiquer que la température diminue avec le temps.

L’équation est séparable car elle peut être réécrite avec des termes de température d’un côté et du temps de l’autre. En intégrant les deux côtés, on obtient une équation logarithmique avec une constante d’intégration.

Lorsque les deux côtés sont exponentiés, la solution générale émerge, avec une constante pouvant être positive, négative ou nulle. La constante est trouvée en substituant t égal à zéro et en remplaçant la température initiale.

La différence de température diminue de façon exponentielle, ce qui fait refroidir le thé rapidement au début puis plus lentement avec le temps.