Géométrie des hyperboles

Une hyperbole se compose de deux courbes ouvertes appelées branches. Si P est un point sur la courbe, alors les distances de P aux deux foyers sont mesurées, et la différence absolue de ces distances est constante. Quel que soit l’endroit où P est choisi sur l’une ou l’autre branche, cette différence reste la même.

L’équation standard d’une hyperbole centrée à l’origine et s’ouvrant le long de l’axe des x est x au carré sur a au carré moins y au carré sur b au carré est égal à un.

Chaque branche d’une hyperbole s’approche de deux lignes diagonales, appelées asymptotes, qui guident la courbe vers l’infini.

Deux fois a donne la distance entre les sommets le long de l’axe transversal, tandis que deux fois b définit la longueur de l’axe conjugué.

Les équations des asymptotes dépendent à la fois de a et de b, qui déterminent les pentes des lignes diagonales du rectangle central. À l’aide de la formule point-pente, les équations des droites asymptotiques peuvent ensuite être écrites.

Les hyperboles apparaissent également dans les instruments optiques. En astronomie, le télescope Cassegrain utilise un miroir primaire parabolique et un miroir secondaire hyperbolique. Le primaire focalise les rayons parallèles entrants, et le secondaire, partageant un foyer avec le primaire, les réfléchit vers son deuxième foyer à travers un trou dans le primaire pour former une image.