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La cinématique est la description du mouvement, qui est souvent une conséquence importante de nombreux événements et phénomènes physiques.
Le mouvement peut être unidimensionnel, bidimensionnel ou tridimensionnel. Les équations qui s’appliquent au mouvement d’un objet dans tous ces cas utilisent les quantités vectorielles de position - qui est le déplacement par rapport à l’origine, le vecteur vitesse - qui est le changement de position avec le temps, et l’accélération - qui est le changement de vitesse avec le temps.
Avec ces informations, il est possible de calculer les trajectoires des corps en chute libre, les trajectoires des projectiles et les orbites des planètes, pour ne donner que quelques exemples.
Ici, nous nous concentrerons sur les équations cinématiques liées à la montée et à la descente unidimensionnelles d’un objet et à l’arc bidimensionnel d’un objet lancé à un angle
Avant de décrire le mouvement, il est nécessaire d’avoir un système de coordonnées, ou un cadre de référence. En règle générale, l’axe des x est horizontal et l’axe des y est vertical. L’origine est arbitraire mais constitue souvent le point de départ d’un objet.
Considérons un ballon de basket placé à l’origine et lancé tout droit. La position de la balle est sa distance et sa direction par rapport à l’origine et a des unités de mètres.
La vitesse moyenne vy est le changement de position ?y divisé par la variation de temps ?t, et a des unités de mètres par seconde. Cependant, lorsque ?t tend vers zéro, l’équation du vecteur vitesse moyen devient un pour le vecteur vitesse instantané .
En pratique, considérez la vitesse instantanée comme la vitesse à cet instant. Ainsi, au début, la vitesse instantanée v0 est la vitesse de lancement, et par la suite, la vitesse instantanée diminue continuellement jusqu’à ce qu’elle soit nulle au sommet.
La diminution de la vitesse due à l’accélération constante fournie par la gravité terrestre, qui s’oppose au mouvement de la balle et est négative dans ce système de coordonnées.
Dans de telles conditions d’accélération constante, les relations cinématiques conduisent à ces équations pour l’amplitude de la vitesse instantanée et la position dans une dimension. En les utilisant, nous pouvons calculer le mouvement d’un objet à n’importe quel moment donné
Appliquons ces formules à l’exemple du basket-ball. Disons que la vitesse de lancement du ballon de basket, v0, est de 20 mètres par seconde. Nous savons que la vitesse instantanée finale de la balle au sommet est nulle. L’accélération est ici négative g, car elle s’oppose au mouvement de la balle. Ainsi, en réarrangeant cette équation cinématique, nous pouvons obtenir t -- le temps de montée, qui est d’environ deux secondes. Maintenant, en utilisant la formule cinématique de la position, et en disant que la position initiale y0 est nulle, nous pouvons insérer les valeurs de l’accélération de la vitesse de lancement due à la gravité et au temps de montée, pour calculer le déplacement maximum, qui est la hauteur maximale ici, d’environ 20,4 mètres. Après avoir atteint le sommet, la balle tombe pendant deux secondes avec une vitesse croissante jusqu’à ce qu’elle touche le sol où elle a commencé, ce qui porte le temps de vol total à environ 4 secondes.
Pour deux dimensions, les mouvements verticaux et horizontaux d’un objet sont indépendants l’un de l’autre et peuvent être traités séparément, le résultat net étant la somme vectorielle. À l’aide de cette information, l’arc entier du mouvement du projectile peut être décomposé en deux mouvements unidimensionnels distincts.
Étudions cela à l’aide d’un exemple : un lanceur lance une balle de baseball avec une vitesse initiale de 20 mètres/seconde à un angle de trente degrés par rapport au sol. La composante verticale initiale de la vitesse est cette vitesse multipliée par le sinus de 30 degrés, soit 10 mètres/seconde. La composante horizontale initiale est la vitesse multipliée par le cosinus de 30 degrés, soit environ 17 mètres/seconde.
Pendant le temps de montée de la balle de baseball, la vitesse verticale est ascendante et la vitesse diminue en raison de la gravité. Au sommet, qui est le point médian, la vitesse verticale est nulle pendant un instant. Puis, pendant la période d’automne, il est vers le bas avec une vitesse croissante.
Ignorant la résistance de l’air, le mouvement horizontal n’a pas d’accélération et a donc une vitesse constante.
L’addition vectorielle des positions verticales et horizontales et des vitesses verticales et horizontales produit l’arc de mouvement du projectile. La somme des temps de montée et de descente est le temps de vol total, qui détermine la portée ou la distance horizontale.
Maintenant que nous avons vu comment calculer les trajectoires d’objets en mouvement, nous allons tester les équations cinématiques sur une balle lancée directement vers le haut et une balle lancée en biais.
Ces expériences utilisent une balle, un lanceur avec piston, deux perches, un seau, deux pinces, un bâton de deux mètres de long et un chronomètre. Notez que la vitesse initiale du lanceur est de 6,3 mètres par seconde. Pour la première expérience, qui démontre le mouvement unidimensionnel du projectile, attachez le lanceur à un poteau et positionnez le bâton de deux mètres au-dessus de celui-ci.
Ajustez le lanceur de manière à ce qu’il soit pointé directement vers le haut à un angle de zéro degré par rapport à la verticale. Cela correspond à un angle de lancement de 90 degrés par rapport à l’horizontale. Notez la position verticale de la pointe du lanceur, où la balle sortira, et désignez-la y0. Utilisez le piston pour placer la bille dans le lanceur à la tension maximale du ressort.
Lancez la balle et lancez un chronomètre au même instant. Mesurez le temps total nécessaire à la balle pour revenir à son point de départ à la position verticale y0 et enregistrez le résultat en tant que temps de vol. Remarquez que la balle atteint une hauteur maximale d’environ 2 mètres et s’arrête un instant à ce moment-là.
Répétez cette procédure cinq fois et utilisez le temps total moyen pour les calculs ultérieurs.
Cette deuxième expérience démontre le mouvement bidimensionnel des projectiles. Installez le lanceur comme dans la première expérience et placez l’autre poteau à quatre mètres de distance à la même hauteur. Fixez le godet à ce deuxième poteau à l’aide de la pince et ajustez le godet de manière à ce qu’il soit à la même hauteur que la pointe du lanceur.
Fixez le stick de 2 mètres au milieu de la configuration et positionnez-le de manière à ce qu’il y ait au moins un mètre au-dessus de la hauteur du lanceur, ou y0. Ajustez le lanceur de manière à ce qu’il soit à un angle de 45 degrés par rapport à la verticale, c’est-à-dire à un angle de lancement de 45 degrés par rapport à l’horizontale. Utilisez le piston pour placer la bille dans le lanceur à la tension maximale du ressort.
Maintenant, lancez la balle et démarrez le chronomètre au même instant. Mesurez le temps de vol total pour que la balle atterrisse dans le seau. Notez et enregistrez la hauteur maximale atteinte par la balle. Répétez cette expérience cinq fois et utilisez le temps total moyen pour des calculs ultérieurs.
Pour l’expérience démontrant le mouvement dans une dimension, la vitesse initiale de la balle hors du mécanisme de lancement était de 6,3 mètres par seconde. Rappelez-vous, lorsqu’une balle est lancée vers le haut, sa vitesse est de 0 au sommet. Avec ces informations et la formule cinématique de la vitesse, nous pouvons calculer que le temps de montée théorique de la balle est de 0,64 seconde. En multipliant cela par 2, on obtient le temps de vol calculé. Ensuite, en utilisant la formule de position, nous pouvons calculer que la hauteur maximale est de 2,02 mètres.
Les résultats théoriques et mesurés sont comparables, dans le cadre de l’erreur expérimentale, validant les équations cinématiques pour le mouvement unidimensionnel
Pour l’expérience démontrant le mouvement en deux dimensions, la balle a été lancée à une vitesse de 6,3 mètres/seconde à un angle de 45 degrés. Pour calculer le mouvement de son projectile, déterminez d’abord la composante x de la vitesse initiale-v ?cos ?-et la composante y de la vitesse initiale-v ?sin ?. Utilisez ensuite la vitesse verticale initiale et l’accélération pour déterminer le temps nécessaire pour atteindre l’altitude maximale, qui est de 0,45 seconde. Par conséquent, le temps de vol total est le double de cette valeur, soit 0,9 seconde.
Pour calculer le déplacement vertical maximal, utilisez la vitesse verticale initiale, l’accélération due à la gravité et le temps de montée. Cela nous donne le déplacement y maximum théorique de 1 mètre. Pour calculer le déplacement horizontal maximal, utilisez la vitesse horizontale initiale et le temps de vol total, ce qui donne un déplacement maximal x théorique de 4 mètres.
Encore une fois, la théorie s’accorde bien avec l’expérience, validant les équations cinématiques du mouvement bidimensionnel.
L’utilisation de la cinématique et la compréhension du mouvement des projectiles sont importantes, et souvent invisibles, dans de nombreuses applications quotidiennes.
Les ingénieurs automobiles utilisent souvent la cinématique pour calculer différentes spécifications de voiture.
L’un d’eux est la distance d’arrêt ou de freinage, qui est un paramètre de sécurité important qui peut être calculé à l’aide d’équations cinématiques unidimensionnelles
Sans le savoir, un golfeur effectue des calculs mentaux à l’aide de la cinématique à chaque swing du club. Dans l’espoir d’un trou d’un coup, le golfeur se balance, frappe la balle et la lance avec une certaine vitesse et un certain angle pour voler à travers le parcours. La trajectoire bidimensionnelle idéale de la balle de golf obéit aux équations qui régissent le mouvement du projectile.
Vous venez de regarder l’introduction de JoVE à la cinématique et au mouvement des projectiles. Vous devriez maintenant savoir comment utiliser les équations cinématiques pour calculer la trajectoire d’un objet se déplaçant en une ou deux dimensions. Comme toujours, merci d’avoir regardé !
