Vecteurs dans de multiples Directions

Les vecteurs sont des grandeurs avec à la fois une amplitude et une direction, contrairement aux scalaires, qui n’ont qu’une amplitude et un signe.

La force, l’accélération et la vitesse sont des exemples de vecteurs. Alors que la masse, l’énergie et le temps sont des exemples de scalaires.

Un vecteur est généralement représenté par une flèche. La longueur de la flèche correspond à sa magnitude et l’angle indique la direction.

Cette vidéo montrera un système de forces qui peut être analysé par addition et soustraction de vecteurs, et démontrera comment de telles opérations produisent des résultats importants pour la compréhension de plusieurs phénomènes physiques.

La description d’un vecteur nécessite un système de coordonnées. Dans ce cadre de référence choisi, cet exemple d’un ballon lancé en l’air a un vecteur vitesse initial. Comme expliqué précédemment, la longueur de la flèche représente l’amplitude de la vitesse. Et la direction du vecteur est son angle par rapport au sol.

Tout vecteur peut être décomposé en composantes, qui sont elles-mêmes des vecteurs le long des axes x et y. Si la vitesse initiale de la balle est de 20 mètres par seconde à 60 degrés, la composante horizontale est la vitesse multipliée par le cosinus de 60 degrés et a une amplitude de 10 mètres par seconde. La composante verticale est la vitesse multipliée par le sinus de 60 degrés et a une amplitude d’environ 17,3 mètres par seconde.

L’addition vectorielle de composantes horizontales et verticales reconstruit le vecteur vitesse d’origine. Pour ajouter des vecteurs, imaginez que vous placiez la tête de l’un à la queue de l’autre. Dans cet exemple, les vecteurs se trouvent être à angle droit. La somme résulte lorsqu’on se déplace directement de la queue du premier à la tête du second.

Ces composantes sont à angle droit, donc l’intensité de la somme est donnée par le théorème de Pythagore. L’angle est l’arctangente de la composante verticale divisée par la composante horizontale.

Lorsque vous additionnez deux vecteurs qui ne sont pas perpendiculaires, décomposez chacun en composantes x et y, puis ajoutez les composantes correspondantes. Enfin, calculez la somme vectorielle des composantes horizontales et verticales comme expliqué précédemment. Soustraire un vecteur d’un autre équivaut à inverser le deuxième vecteur et à l’ajouter au premier. Comme précédemment, décomposez chaque vecteur en composantes x et y. Soustrayez ensuite la plus petite composante x de la plus grande et faites de même pour les composantes y. Ensuite, comme précédemment, calculez la somme vectorielle des composantes x et y résultantes.

Pour démontrer l’addition et la soustraction de vecteurs dans un laboratoire de physique, l’équipement couramment utilisé est une table de force. Il s’agit d’un disque avec des angles marqués sur le pourtour, un anneau au centre attaché à des cordons avec des masses à l’autre extrémité suspendues par des poulies. Les masses produisent des forces, qui sont les vecteurs à étudier. La force le long de chaque cordon est égale à la force gravitationnelle, ou mg, en unités de Newtons.

Maintenant, dans cette configuration, s’il n’y a que deux masses égales à 180 degrés l’une de l’autre, alors elles produisent des forces avec une somme vectorielle de zéro. Cette condition est appelée équilibre, qui se traduit par une accélération nulle et donc l’anneau ne bouge pas.

Mais si les deux forces qui tirent sur l’anneau ne s’annulent pas, par exemple en raison d’un changement d’angle, alors la force nette non nulle provoquerait le déplacement de l’anneau. Dans de tels cas, si nous connaissons l’intensité et la direction de ces forces, nous pouvons utiliser l’addition et la soustraction de vecteurs pour calculer la troisième force nécessaire pour rétablir l’équilibre.

Dans la section suivante, nous montrerons comment mener de telles expériences de table des forces qui testent les principes théoriques de l’addition et de la soustraction de vecteurs

Si les deux forces sont égales et opposées, l’anneau au centre de la table ne devrait pas bouger. Dans ce cas, chaque vecteur de force s’oppose exactement à l’autre en termes d’amplitude et de direction. La somme des vecteurs a une norme nulle, qui est la condition de force nette nulle, ou équilibre.

Pour valider les principes de l’addition et de la soustraction vectorielles, établissez les masses et les angles des forces A et B comme indiqué sur la première ligne de ce tableau. Gardez l’angle de A à zéro degré. Maintenant, configurez la troisième force en ajoutant des masses et en changeant l’angle jusqu’à ce que l’anneau ne bouge pas.

Après avoir atteint l’équilibre, calculez la force de C en multipliant sa masse par l’accélération due à la gravité. Notez également l’intensité et l’angle de la force C.

Répétez ce test pour les trois cas différents et notez l’intensité et l’angle de la force C à chaque fois.

Pour les quatre configurations expérimentales, ce tableau montre les intensités calculées des forces A et B, et les angles de B par rapport à A. En utilisant la première configuration comme exemple, nous pouvons calculer la force C nécessaire pour établir l’équilibre sur la table.

Ici, la force A a une intensité de 0,98 Newtons à 0 ?. La force B a la même amplitude de 0,98 Newtons mais un angle de 20°. Pour déterminer le vecteur C, décomposez les forces A et B en leurs composantes x et y. Remarque : la force A est dirigée uniquement le long de l’axe des x et n’a pas de composante y. Ensuite, additionnez les composantes pour obtenir les vecteurs x et y, qui sont la somme des vecteurs A et B.

Pour atteindre l’équilibre, les composantes x et y de C doivent être opposées à ces vecteurs. Pour obtenir le vecteur C, déplacez la queue de sa composante y vers la tête de la composante x. Ensuite, additionnez les deux vecteurs à l’aide du théorème de Pythagore pour déterminer la norme du vecteur C. Et l’angle de C est la tangente de l’arctangente de la composante verticale divisée par la composante horizontale. Par conséquent, la norme calculée de C s’avère être de 1,93 Newtons à un angle de 10 ? par rapport à l’axe des x.

Maintenant, au cours de l’expérience, nous calculons C par observation et essais et erreurs, en ajustant les poids et les angles pour empêcher le mouvement de l’anneau sur la table des forces.

Et ce tableau montre que les résultats expérimentaux et calculés pour la magnitude et l’angle correspondent étroitement pour les quatre configurations. Cet accord valide la représentation des forces sous forme de vecteurs. La différence peut être attribuée à des limitations dans la précision des poids, la précision de mesure de l’angle et les forces non prises en compte causées par le frottement sur la table de force et avec les poulies.

L’addition et la soustraction vectorielles sont utilisées dans des applications simples et complexes. Jetons un coup d’œil à quelques-uns d’entre eux.

Lorsque vous visitez une ville comme New York, la distance est généralement mesurée en pâtés de maisons et les directions sont nord, sud, est et ouest.

Une personne marchant quatre pâtés de maisons vers l’est et trois pâtés de maisons vers le nord subit un changement de position, qui est une quantité vectorielle. Par conséquent, en appliquant les équations de l’addition vectorielle, on peut calculer l’intensité et la direction du vecteur entre les points de départ et d’arrivée de la marche.

De la marche au vol : un pilote effectue constamment l’addition et la soustraction de vecteurs mentaux pour manœuvrer l’avion. En utilisant les volets et les ailerons des ailes, un pilote peut ajuster la portance en fonction de la gravité. Si la portance est supérieure à la force gravitationnelle, l’avion monte. Si la portance est inférieure à la force gravitationnelle, elle descend.

De même, un pilote utilise les moteurs pour ajuster la poussée en fonction de la traînée. Si la poussée est supérieure à la traînée, l’avion accélère. Si la poussée est inférieure à la traînée, elle ralentit.

Lorsque la somme de ces quatre forces est égale à zéro, l’avion est en équilibre et navigue à vitesse et altitude constantes.

Vous venez de regarder l’introduction de JoVE aux vecteurs. Vous devriez maintenant savoir comment additionner et soustraire des vecteurs, et comprendre comment certaines grandeurs physiques se comportent comme des vecteurs. Merci d’avoir regardé !