Name: modeling voltage and current on transmission lines
Uploaded: 2024-11-21T14:54:26.000Z
Duration: 1 min 26 s
Channel: JoVE

חשבו על מעגל המייצג קטע קו.
המתח והזרם נמדדים מהקצה המקבל, עם עכבת סדרה מוגדרת וכניסת שאנט לכל אורך יחידה.
באמצעות חוקי קירכהוף ולקיחת גבולות דלתא x מתקרבת לאפס, נגזרות שתי משוואות דיפרנציאליות ליניאריות. בידול המתח והחלפתו במשוואת הזרם מניבה משוואה הומוגנית מסדר שני.
הפתרון כולל שני קבועי אינטגרציה וקבוע התפשטות. החלפתו במשוואת המתח וסידור מחדש של המכנה מניבה את ביטוי הזרם עם העכבה האופיינית.
לאחר הערכת קבועי האינטגרציה מתנאי הגבול וזיהוי פונקציות היפרבוליות, מתקבלים פרמטרי ABCD של הקו המבוזר. אלה מספקים את הזרם והמתח בכל נקודה ביחס לערכי הקצה המקבל.
פרמטרים ABCD מוערכים גם בקצה השליחה. קבוע ההתפשטות, כמות מרוכבת, הוא חסר ממד כאשר הוא מוכפל באורך ומסייע בקביעת פונקציות היפרבוליות.
פרמטרים אלה חלים על כל אורך שורה. ניתן להשתמש בקירוב לחישובים ידניים הכוללים קווים קצרים ובינוניים.

משוואות דיפרנציאליות של קווי תמסורת

<div style="direction: rtl">

קווי תמסורת הם רכיבים חיוניים במערכות כוח חשמליות. הם מאופיינים בטבעם המחולק של ההתנגדות (R), האינדוקטיביות (L) והקיבול (C) לכל יחידת אורך. לניתוח קווים אלה נעשה שימוש במשוואות דיפרנציאליות כדי לדמות את השינויים במתח ובזרם לאורך הקו.

מודל מקטע הקו

מעגל המתאר מקטע קו באורך Δ_x עוזר בהבנת הפרמטרים של קו התמסורת. המתח V(x) והזרם i(x) נמדדים מהקצה המקבל. לקו יש עכבה טורית z=R+jωL לכל יחידת אורך ואדמיטנס שאנט y=G+jωC לכל יחידת אורך. באמצעות חוק המתח של קירכהוף (KVL) וחוק הזרם של קירכהוף (KCL) עבור מערך זה, ניתן לגזור קשרים לשינויים במתח ובזרם לאורך הקו.

כאשר Δ_x שואף לאפס, קשרים אלו הופכים למשוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר ראשון והומוגניות:

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%201.svg" style="height: 30px;">

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%202.svg" style="height: 30px;">

משוואות דיפרנציאליות אלו מתארות כיצד משתנים המתח והזרם לאורך קו התמסורת.

פתרון משוואות דיפרנציאליות אלו כולל את קביעת קבוע התפשטות γ, המשקף את השפעות ההתנגדות הטורית ואדמיטנס השאנט. הפתרונות הכלליים למתח ולזרם לאורך הקו כוללים שני קבועי אינטגרציה הנקבעים באמצעות תנאי הגבול בקצה המקבל.

עכבת המאפיין Z_c היא פרמטר מפתח המשקף את העכבה הפנימית של קו התמסורת. באמצעות פתרונות המשוואות הדיפרנציאליות, מבוטאים המתח והזרם לאורך הקו באמצעות פונקציות היפרבוליות, cosh (קוסינוס היפרבולי) ו-sinh (סינוס היפרבולי), פונקציות מתמטיות המשמשות לתיאור התפלגות המתח והזרם.

<img alt="Equation3" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%203.svg" style="height: 14px;">

<img alt="Equation4" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%204.svg" style="height: 32px;">

פרמטרי ABCD

פרמטרי ABCD, או קבועי קו התמסורת, נגזרים מפונקציות היפרבוליות אלו. פרמטרים אלו מספקים ייצוג מטריצה המקשר בין המתח והזרם בכל נקודה לאורך הקו לבין הערכים בקצה המקבל. פרמטרי ABCD חשובים להבנת אופן התפשטות האותות דרך קו התמסורת.

<img alt="Equation5" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%205.svg" style="height: 32px;">

קבוע ההתפשטות

קבוע ההתפשטות γ הוא גודל מרוכב עם חלקים ממשיים ומדומים, המייצגים דעיכה והסטת פאזה, בהתאמה. כאשר מכפילים אותו באורך הקו, הוא הופך חסר ממדים ונחוץ לחישוב הפונקציות ההיפרבוליות המתארות את התפלגות המתח והזרם.

פרמטרי ABCD המדויקים תקפים לכל אורך קו ומספקים פתרון מדויק להתנהגות קווי התמסורת. עבור חישובים ידניים מעשיים הכוללים קווים קצרים ובינוניים, ניתן להשתמש בקירובים. פרמטרים אלו מאפשרים ניתוח מקיף של קווי תמסורת בתנאי פעולה שונים, ומבטיחים תמסורת כוח יעילה ואמינה.

</div>

חשבו על מעגל המייצג קטע קו.
המתח והזרם נמדדים מהקצה המקבל, עם עכבת סדרה מוגדרת ושאנט ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

הנדסה חשמלית

Unit 1

יחידה 1

Steady-State Transmission Lines and Power Flows

קווי הולכה ותזרימי הספק במצב יציב

steady-state-transmission-lines-and-power-flows

KEY TERMS AND CONCEPTS

מונחי מפתח ומושגים

Transmission-Line Differential Equations

modeling voltage and current on transmission lines

Transmission lines carry electric power, and their resistance, inductance, and capacitance are spread out along the line. Because these properties are distributed per unit length, voltage and current change as they move from one end of the line to the other. Differential equations are used to describe that variation.

A line-section model helps show how this works. In the model, a small length, Δx, is used to represent the line. Voltage V(x) and current i(x) are measured from the receiving end. The line also includes a series impedance, z = R + jωL, and a shunt admittance, y = G + jωC, per unit length.

Kirchhoff’s Voltage Law and Kirchhoff’s Current Law are applied to the small line section. As Δx becomes very small, the results turn into linear, first-order, homogeneous differential equations. These equations describe how voltage and current change along the transmission line.

Solving the equations gives the propagation constant, γ. This complex value combines the effects of series impedance and shunt admittance. Its real part shows attenuation, and its imaginary part shows phase shift. The product of γ and the line length is dimensionless and is used in the hyperbolic functions that describe the line behavior.

The general solutions for voltage and current include two integration constants. These constants are found from boundary conditions at the receiving end. The solutions also define the characteristic impedance, Zc, which reflects the intrinsic impedance of the transmission line. Voltage and current can then be written with cosh and sinh functions.

From these hyperbolic expressions, the ABCD parameters, also called transmission line constants, are obtained. They give a matrix form that relates the voltage and current at any point on the line to the values at the receiving end. The exact ABCD parameters work for any line length, while short- and medium-length lines may use approximations for hand calculations.

Modeling Voltage and Current on Transmission Lines

modeling-voltage-and-current-on-transmission-lines

transmission-line differential equations

Transmission lines carry electric power, and their resistance, inductance, and capacitance are spread out along the line. Because these properties are distributed per unit length, voltage and current change as they move from one end of the line to the other. Differential equations are used to describe that variation. A line-section model helps show how this works. In the model, a small length, Δx, is used to represent the line. Voltage V(x) and current i(x) are measured from the receiving end.

lossless lines

Lossless Lines and Voltage Behavior

Lossless transmission lines in electrical engineering are described by a purely imaginary propagation constant and a resistive characteristic impedance. Their ABCD parameters show an equivalent pi circuit with an imaginary series impedance and a shunt admittance. When the product of beta and line length is less than pi, the line has inductive series impedance and capacitive shunt admittance, which keeps it lossless. Wavelength is the physical length over which voltage or current phase changes...

maximum power flow and line loadability

Transmission Line Power Limits and Loadability

Transmission line power limits and loadability depend on voltage, angle, and line impedance. For lossy transmission lines, ABCD parameters in phasor form are used to relate sending-end and receiving-end voltages and currents. This matrix relation makes it possible to find the receiving-end current and then calculate the complex power delivered to the load. From the complex power, the real and reactive power components can be determined. For a lossless line, the equations become simpler, and...

the power flow problem and solution

Power Flow Analysis in Electric Networks

Power flow analysis helps determine how real and reactive power move through an electric network. It uses the system’s single-line diagram, which shows the buses, transmission lines, transformers, and loads. The analysis focuses on balanced three-phase steady-state operation. Each bus in the system has four key variables: voltage magnitude V k, phase angle δ k, real power P k, and reactive power Q k. Two of these four variables are treated as inputs. The power flow program solves for the...

control of power flow

Voltage and Reactive Power Control

Voltage and reactive power control help keep a power system stable and efficient. In this topic, generator settings, switched equipment, and transformer taps work together to guide how power moves through the network. A generator can be modeled with a Thevenin equivalent circuit under balanced steady-state conditions. The main terms are terminal voltage Vt, excitation voltage Eg, power angle δ, and positive-sequence synchronous reactance Xg. From this model, the generator current and the...

fast decoupled and dc powerflow

Power Flow Shortcuts for Grid Contingencies

Fast decoupled power flow and DC power flow give engineers faster ways to study a power system during contingencies such as generator outages or transmission line failures. These methods help operators get quick power flow solutions, which is important for real-time system adjustments. Fast decoupled power flow simplifies the Jacobian matrix, the set of equations used in power flow calculations, by neglecting some elements. The method drops J2 and J3 and assumes voltage magnitudes stay close...

key terms and concepts

See how distributed R, L, and C lead to transmission-line differential equations, propagation constant γ, characteristic impedance Zc, and ABCD parameters.

Modeling Voltage and Current on Transmission Lines | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Modeling Voltage and Current on Transmission Lines

Description

Transcript

Tags