Research Article

אלגוריתם קוונטי יעיל לקריפטוגרפיה פוסט-קוונטית

DOI:

10.3791/68934

⸱

November 14th, 2025

 ,  ,  ,  ,  ,  , 
1Department of Electronics, Acharya Prafulla Chandra College, Kolkata, India, 2MAKAUT, West Bengal, India, 3Department of Computer Science, Acharya Prafulla Chandra College, Kolkata, India, 4Narula Institute of Technology, West Bengal, India, 5Department of Computer Sciences, College of Computer and Information Sciences, Princess Nourah bint Abdulrahman University, Riyadh, Saudi Arabia, 6Department of Physics, College of Sciences, University of Bisha, Bisha, Saudi Arabia, 7Department of Computer Science and Artificial Intelligence, College of Computing and Information Technology, University of Bisha, Bisha, Saudi Arabia

In This Article

Summary

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

פרוטוקול זה מתאר יישום של "קריפטוגרפיה מבוססת קוד" עם מעגל קוונטי מפורש לקריפטוגרפיה קוונטית יעילה עם מפתח אסימטרי גדול על ידי שימוש באריתמטיקה קוונטית עם טרנספורמציה קוונטית של פורייה.

Abstract

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

מימוש מחשבים קוונטיים יכול להשפיע באופן משמעותי על החברה ועל הביטחון העולמי במובנים רבים. כמות ניכרת של מחקר נעשתה על קריפטוגרפיה קוונטית - מכונות המנצלות תחושות ממוחשבות קוונטיות כדי לפתור בעיות מתמטיות שאינן נגישות למחשבים קונבנציונליים. הדור השישי המשגשג של 'מחשוב קוונטי' יכול לשבור ולאיים על חלק גדול מההגנה והכלכלה הדיגיטלית הנוכחית, אך עשוי לספק חלופות קריפטוגרפיות. לפיכך, אנו מסוגלים לייעל תהליכים שונים בצורה יעילה יותר, לשפר את היעילות ולאפשר סימולציות מכניות קוונטיות מהירות יותר לתכנון טוב יותר של תרופות וחומרים, בין היתר. מחקר זה מתמקד ביישום אלגוריתם קריפטוגרפי פוסט-קוונטי על ידי חיבור כפל קוונטי של מספרים גדולים עם מחולל מספרים אקראיים קוונטיים (QRNG). גישה קריפטוגרפית מבוססת קוד המשתמשת בטרנספורמציה קוונטית של פורייה (QFT) נלקחת עם מפתח אסימטרי ענק במעגל קוונטי מפורש כדי להקים מערכת תקשורת קוונטית מאובטחת. בעבודת מחקר זו, 'טקסט רגיל' (נתונים קלאסיים) הוצפן באמצעות QRNG באמצעות מכפיל קוונטי בעזרת אריתמטיקה קוונטית. כתוצאה מכך, הנתונים הקוונטיים המתקבלים עם נתוני QRNG יועברו לקצה המקלט דרך הערוץ הקוונטי, שם המחלק הקוונטי מפענח את אותו הדבר. יתר על כן, תוצאות סימולציה של IBM Qiskit של כל רכיב מיועד וניתוח השוואתי עם עבודות ואלגוריתמים קודמים מצביעים על חוסן ואמינות רבה יותר של אלגוריתם ההוכחה הקוונטית המוצע כאשר בוחנים התקנים קוונטיים גדולים של קיוביט. העבודה מספקת כיוון רב ערך להתפתחויות נוספות בתחום זה וסוללת את הדרך ליישומים עתידיים של מחשוב קוונטי בקריפטוגרפיה פוסט-קוונטית.

Introduction

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

חישוב קוונטי מבוסס על ביטים קוונטיים (קיוביטים), השונים באופן מהותי מהביטים הקלאסיים. בעוד שביט קלאסי יכול להתקיים רק במצב 0 או 1, קיוביט יכול לייצג 0, 1 או כל סופרפוזיציה ליניארית של שני המצבים בו זמנית. תכונה זו מאפשרת למערכות קוונטיות לאחסן ולעבד מספר עצום של ערכים במקביל ולא ברצף. עם המדידה, הקיוביט קורס למצב מוגדר, ומספק את התוצאה החישובית. ההקבלה המובנית של העיבוד הקוונטי מציעה האצה משמעותית, כאשר הערכות מצביעות על כך שמחשבים קוונטיים עשויים לעלות על מערכות קלאסיות בכמה סדרי גודל. התקדמות כזו מציבה אתגרים רציניים לאבטחת טכניקות קריפטוגרפיות מסורתיות, ומחייבות פיתוח שיטות קריפטוגרפיות שנשארות מאובטחות בנוכחות חישוב קוונטי1.

קריפטוגרפיה קלאסית נחשבה באופן מסורתי לאמנות של יצירת קודים מאובטחים, כאשר תהליך הליבה של הבטחת סודיות כרוך בקידוד ופענוח טקסט רגיל בעזרת מפתח סודי. מבחינה היסטורית, טכניקות קריפטוגרפיות שימשו בעיקר בתקשורת צבאית ולחילופים דיפלומטיים מאובטחים. עם התרחבות טכנולוגיות התקשורת והביקוש הגובר לשיתוף מידע מאובטח בקרב משתמשים לגיטימיים, קריפטוגרפיה הפכה למוקד מרכזי של מחקר הן במגזר האקדמי והן במגזר התעשייתי2.

באופן כללי, שלושה מרכיבי מפתח מגדירים את תהליך ההצפנה: (1) מפתח ההצפנה או הסיסמה, (2) מנגנון חילופי המפתחות ו-(3) אלגוריתם ההצפנה. חוזק ההצפנה טמון בעובדה שגם אם נתונים מוצפנים מיורטים, הם נשארים בלתי מובנים ללא גישה למפתח או לאלגוריתם הנכון3.

מבין טכניקות ההצפנה הקלאסיות, Rivest-Shamir-Adleman (RSA), שהוצגה ב-1977, הייתה אחת ממערכות ההצפנה הציבוריות הנפוצות ביותר. בזמן המצאתו, ההערכה הייתה ששבירת מפתח RSA של 426 סיביות תיקח כמה קוודריליון שנים. עם זאת, עד 1994, מפתחות כאלה נפגעו, בעיקר בשל התקדמות ביכולות החישוב. ככל שכוח העיבוד גדל, הפרקטיקה הקריפטוגרפית עברה לעבר אורכי מפתחות ארוכים יותר, כאשר מפתחות RSA של 2048 סיביות ו-4096 סיביות משמשים כעת כתקנים עכשוויים3.

בעידן האינטרנט של הדברים (IOT) ושירותי ענן, אבטחת נתונים ופרטיות הם ההיבטים החשובים ביותר. כדי לטפל בחששות אלה, מוצע אלגוריתם קריפטוגרפי יעיל 3,4,5, הממלא תפקיד מכריע באבטחת התקשורת בין מכשירי IoT ושמירה על פרטיות הנתונים. החתימה הדיגיטלית של עקומת אדוארדס, עם פעולות keygen, sign, ו-verify באמצעות הפרמטר Ed25519, ב-ARM Cortex-M4, המיושמת בקוד הרכבה. ניתוח הערוץ הצדדי, כגון מתקפת ניתוח כוח, משמש לשחזור המפתח הסודי. בעוד שהוכח כי היישום מקיף את כל הפרימיטיביים של Ed25519, היקף ההתקפה מוגבל, ומוצג כיצד התקפות שונות מתבטלות על ידי אלגוריתם זה.

בשנים האחרונות חוו מתקפות סייבר רבות ברחבי העולם, לרוב בצורה של תוכנות כופר או באמצעות טכניקות פריצה אחרות. היא מובילה להפסדים של מאות מיליונים, ובמקרים מסוימים אף מיליארדי דולרים, המשפיעים בין היתר על תאגידים גדולים כמו פייסבוק, אדובי, סוני, הום דיפו, ג'יי.פי מורגן, יאהו, מריוט וטרגט.

הופעתו של המחשוב הקוונטי מייצגת שינוי פרדיגמה, וחושפת פגיעויות חדשות במערכות הצפנה קלאסיות. במקביל, התפתחות זו הניעה חדשנות בקריפטוגרפיה של מפתח ציבורי5, והולידה פרימיטיבים קריפטוגרפיים פוסט-קוונטיים 6,7 ופרוטוקולים שתוכננו במיוחד לעמוד בפני איומים מבוססי קוונטום6.

הרעיון של קריפטוגרפיה קוונטית הוצג לראשונה על ידי סטיבן ויזנר בתחילת שנות ה-70, ורעיונות היסוד שלו הורחבו מאוחר יותר על ידי צ'ארלס בנט וז'יל בראסארד ב-1984. קריפטוגרפיה פוסט-קוונטית נחקרה בעבר באמצעות שתי גישות שונות: (1) הפצת מפתחות קוונטיים (QKD), (2) מחקר תיאורטי על קריפטוגרפיה פוסט-קוונטית, ו-(3) יישום מעגלים קוונטיים לקריפטוגרפיה פוסט-קוונטית.

הפצת מפתח קוונטי (QKD)
QKD ממנפת את עקרונות מכניקת הקוונטים כדי להבטיח תקשורת מאובטחת. זה מאפשר לשני צדדים ליצור מפתח סודי משותף ואקראי הידוע להם באופן בלעדי, שיכול לשמש לאחר מכן להצפנה ופענוח של הודעות סודיות. זה מבטיח אבטחה היכן שמערכות קריפטוגרפיה קלאסיות לא יכולות. מחקר מקיף נערך על הפצת מפתחות קוונטיים, החל מהאלגוריתם שהוצע על ידי C.H. Bennett ו- G. Brassard2 בשנת 1984, ואחריו BB923, SARG044, KMB09, S0955, S1366 ואחרים.

מחקר תיאורטי על קריפטוגרפיה פוסט-קוונטית
קומאר סקאר רוי והמנטה קומאר קאליטה ערכו סקר מקיף בנושא זה. מחקרים שונים הקשורים לקריפטוגרפיה פוסט-קוונטית נעשו בעיקר על "קריפטוגרפיה מבוססת סריג"8, "קריפטוגרפיה רב-משתנית"9, "קריפטוגרפיה מבוססת גיבוב"10 ו"קריפטוגרפיה מבוססת קוד"11המראים כיצד הם מחליפים באופן תיאורטי את ה-RSA הקלאסי ואלגוריתמים מקבילים כמו Elliptic Curve Cryptosystem (ECC). ישנם מספר אלגוריתמים שהומצאו בכל אחד מהתחומים הללו.

לילי צ'ן ואחרים מדווחים על קריפטוגרפיה פוסט-קוונטית, ומראים כיצד הקריפטוגרפיה הקלאסית תושפע באופן מסיבי עקב כניסתם של מחשבים קוונטיים בקנה מידה גדול. זה מראה שקריפטוגרפיה מבוססת מפתח אסימטרי לא תהיה מאובטחת יותר; עם זאת, קריפטוגרפיה מבוססת מפתח סימטרי תשרוד בעידן המחשבים הקוונטיים על ידי שימוש בגדלי מפתח גדולים. בנוסף, "אריתמטיקה קוונטית עם התמרת פורייה הקוונטית"13, שפורסם על ידי לידיה רואיז-פרז וחואן קרלוס גרסיה-אסקרטין ב-2017, פותח אפיק חדש ליישום פעולות אריתמטיות על מחשוב קוונטי כדי להאיץ. עבודות אלו מניעות ליישם קריפטוגרפיה מבוססת מפתח סימטרי באמצעות כפל מספריםגדול 14,15 במחשב קוונטי.

בהקשר של קריפטוגרפיה קוונטית, טכניקות קריפטוגרפיות פוסט-קוונטיות מסוגלות תיאורטית לספק ערבויות אבטחה חזקות, הן מבחינת עקרונות היסוד שלהן והן מבחינת הישימות שלהן לאתגרי אבטחה קלאסיים כמו גם מתפתחים כגון הצפנה, חתימות דיגיטליות, חילופי מפתחות והצפנה הומומורפית 16,17,18,19,20,21,22 . עם זאת, תרגום מבנים תיאורטיים אלה לפרקטיקה בפלטפורמות מחשוב קוונטיות דורש תכנון מעגלים קפדני ובחינה מדוקדקת של פשרות. זה הכרחי כדי להסביר את ההטרוגניות של ארכיטקטורות חומרה קוונטיות ולשמור על הגמישות הדרושה לפריסה בהתאם לסטנדרטים קריפטוגרפיים המתפתחים במהירות. יש מעט מאוד מימושים או הטמעות שבוצעו 23,24.

מאמר זה מציג יישום שבו מודל קלאסי של קריפטוגרפיה מבוססת מפתח סימטרי מדומיין מחדש וממומש במחשב קוונטי באמצעות הרעיון של כפל מספרים גדולים, המייצג צורה של קריפטוגרפיה מבוססת קוד. מודל ההצפנה של מפתח סימטרי במחשבים קוונטיים מוצג כיעיל וניתן להרחבה יותר משיטות פוסט-קוונטיות קיימות23,24. סכמות מבוססות סריג ורב-משתנים דורשות חישוב כבד ומפתחות גדולים; שיטות מבוססות hash אינן יעילות לשימוש חוזר, ו-QKD מתמודד עם בעיות מדרגיות עקב צרכי חומרה. לעומת זאת, המודל המוצע נמנע מפעולות פולינומיות מורכבות, תומך ביישומי IoT וענן, ופועל ללא חומרה מיוחדת מעבר לפלטפורמות קוונטיות סטנדרטיות.

המפתח הסודי יופק על ידי מחולל QRNG, המשמש להצפנה ופענוח. מכיוון שהמפתח הסודי הוא מצב קוונטי, המוגן מפני התקפות שונות והתקפות קריפטוגרפיה פוסט-קוונטיות, שכן המצב הקוונטי יתמוטט לאחר מדידתו.

מאמר זה מציג מימוש מעשי של מודל קריפטוגרפיה של מפתח סימטרי במחשבים קוונטיים. בניגוד לשיטות מבוססות סריג, רב-משתנים, hash או QKD, הגישה המוצעת ממנפת כפל מספרים גדולים ו-QRNG ליצירת מפתחות, ומספקת יעילות ועמידות כנגד התקפות פוסט-קוונטיות. נדונים גם שיקולי מדרגיות, מגבלות משאבי חומרה ופשרות יישום הרלוונטיות לפריסה בפלטפורמות קוונטיות קיימות ומתפתחות.

Access restricted. Please log in or start a trial to view this content.

Protocol

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

מאמר זה משתמש באלגוריתם, תוך שימוש באריתמטיקה קוונטית ובטרנספורמציית פורייה מהירהקוונטית 13, כדי לפענח את ההודעה על ידי חלוקת הטקסט המוצפן במפתח הסימטרי. המטרה העיקרית של מחקר זה היא להדגים את היישום הקוונטי של קריפטוגרפיה מבוססת מפתח סימטרי על ידי יצירת מפתח אקראי, שימוש באלגוריתם כפל גדול וביצוע מספר רב של חלוקות בסביבת IBMQ v1.7.4. איור 1 מתאר את התהליך מקצה לקצה למימוש הצפנה מבוססת מפתח סימטרי. ההנחה היא שהמפתח הסימטרי והטקסט המוצפן מועברים ממכשיר המקור (שבו מתרחשת הצפנה) למכשיר היעד (שבו מתרחש פענוח) דרך ערוץ קוונטי. הציוד והתוכנה המשמשים מפורטים בטבלת החומרים.

1. יצירת QuRNG (מחולל מספרים אקראיים קוונטיים)

מעגל קוונטי ליצירת מפתח סימטרי גדול. מעגל זה מייצר מספר אקראי גדול, כלומר מפתח סימטרי, על ידי שימוש בשערי 'הדמרד', 'CRZ' ו'החלפה'. בהתחשב בעובדה שאורך הטקסט הרגיל הוא 'x', מעגל זה מייצר מפתח סימטרי באורך של '2x'. מעגל ה-QRNG עבור מחולל המספרים האקראיים מוצג באיור 2.

2. שלב הכפל

מעגל קוונטי להכפלת טקסט רגיל עם מפתח סימטרי גדול להצפנת הטקסט הרגיל ליצירת טקסט מוצפן, מוצג באיור 3. מכפיל קוונטי מיושם עבור קלט n-bit קלט טקסט רגיל P ו-n קלט QRNG Q

  1. מעגל איטרציה ראשון
    באיטרציה הראשונה, הכניסהה-0 של P משמשת כקלט הבקרה של n כניסת CQFFT (טרנספורמציה קוונטית מבוקרת). R תהיה פלט היעד n. אחרי CQFFT, CCZ (Controlled ControlledZ) Gate Q הוא כניסת היעד של CQFFT. שער CCZ עשה הכפלה של P ו-Q. הקלטה-0 הבא של P משמש כקלט בקרה של n כניסת CQIFFT (טרנספורמציה קוונטית הפוכה פורייה מבוקרת). R להיות פלט היעד n ייתן כפל כתוצאה מכך של P ו-Q, R = P*Q.
  2. מעגל איטרציהn
    באיטרציה הראשונה, הקלטה-n של P משמש כקלט הבקרה של שער ה-CQFFT (טרנספורמציה קוונטית פורייה מבוקרת). R תהיה פלט היעד n. אחרי CQFFT, CCZ (ControlledZ ) שער Q הוא כניסת היעד של CQFFT. שער CCZ עשה הכפלה של P ו-Q. הקלטה-n הבא של P משמש כקלט בקרה של n כניסת CQIFFT (טרנספורמציה פורייה קוונטית הפוכה מבוקרת). R להיות פלט היעד n ייתן כפל כתוצאה מכך של P ו-Q, R = P*Q.

3. ערבוב

מעגל קוונטי לערבוב המפתח הסימטרי. הוא משתמש בשערי 'החלפה' קוונטיים כדי לערבב הצפנת פוסט סימטרית של ההודעה, ולפני שליחה למכשיר היעד דרך ערוץ קוונטי. שער 'החלפה' קוונטי משתמש באופן פנימי בשלושה שערי 'CNOT'. מעגל הדשדוש מוצג באיור 4.

4. ערבוב מחדש

מעגל קוונטי מערבב את המפתח הסימטרי כדי לקבל את המפתח הסימטרי המקורי. הוא משתמש בשערי 'החלפה' קוונטיים כדי לערבב מחדש את המפתח הסימטרי לאחר קבלת המפתח הסימטרי דרך הערוץ הקוונטי למכשיר היעד. שער 'החלפה' קוונטי משתמש באופן פנימי בשלושה שערי 'CNOT'. Reshuffler מוצג באיור 5.

5. חלוקה

מעגל קוונטי לחלוקה לפענוח הטקסט המוצפן על ידי חלוקת הטקסט המוצפן במפתח סימטרי מעורבב מתואר באיור 6.

6. הצפנה ופענוח

מעגלי כפל 14,15 וחלוקה16משמשים לטרנספורמציה קוונטית מהירה של פורייה (FFT), FFT הפוך, FFT מבוקר ו-FFT הופכימבוקר 13 ליישום הצפנה ופענוח. באיור 7, מוצג מימוש השער הקוונטי של טרנספורמציית פורייה המהירה (FFT), המשתמש בשער 'Hadamard' ובשער 'CRz' כדי ליישם FFT קוונטי.

כאשר, cRz (k) = figure-protocol-1

באיור 8, מתואר מימוש שער קוונטי טרנספורמציה פורייה מהירה הפוכה (QIFFT). QIFFT מיושם באמצעות שער 'הדמרד' ושער 'cRz', FFT הפוך קוונטי מיושם. יישום טרנספורמציה קוונטית מהירה מבוקרת (CQFFT) מתואר באיור 9. יישום שער קוונטי של טרנספורמציה מהירה הפוכה מבוקרת (CIFFT) מוצג באיור 10. כל השלבים מבוצעים על-ידי סביבת IBMQ v1.7.4.

Access restricted. Please log in or start a trial to view this content.

Results

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

כל הרכיבים של המעגל הנ"ל (איור 1) יושמו באמצעות קוד Python (קבצים משלימים 1-3) עם IBM Qiskit ובוצעו בסימולטור מקומי ו-IBMQ. עם זאת, הם אינם מסוגלים לבצע במכשירים קוונטיים בגלל היעדר קיוביטים זמינים בחינם במכשירים קוונטיים קיימים. פלט ההיסטוגרמה בסימולטורים המקומי ו-IBMQ עבור כל רכיבי המפתח מתואר להלן.

QuRNG
המעגל בוצע מספר פעמים בסימולטור, ונצפה הפלט האקראי הצפ...

Access restricted. Please log in or start a trial to view this content.

Discussion

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

ההצלחה של פרוטוקול ההצפנה הקוונטית המוצע מסתמכת על שלושה שלבים קריטיים: יצירת מספרים אקראיים קוונטיים (QRNG), פעולות אריתמטיות קוונטיות באמצעות טרנספורמציה קוונטית מהירה של פורייה (QFFT ו-QIFFT), וערבוב וערבוב מקשים קוונטיים. שלב ה-QRNG מבסס את יסודות האבטחה על ידי יצירת מפתחות סימטריים אקראיים באמת3. הפעולות האריתמטיות, המבוצעות באמצעות QFFT מבוקר ושערי QFFT הפוכים, מבטיחות הצפנה ופענוח מדויקים, בעוד שמעגלי הדשדוש שומרים על שלמות המפתח במהלך השידור דרך הערוץ הקוו...

Access restricted. Please log in or start a trial to view this content.

Disclosures

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

למחברים אין ניגוד אינטרסים.

Acknowledgements

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

עבודה זו נתמכה על ידי פרויקט תמיכה בחוקרים של אוניברסיטת הנסיכה נורה בינת עבד אל-רחמן (PNURSP2025R755), אוניברסיטת הנסיכה נורה בינת עבד אל-רחמן, ריאד, ערב הסעודית. המחברים מודים לדיקן ללימודים מתקדמים ומחקר מדעי באוניברסיטת בישה על תמיכתם בעבודה זו באמצעות תוכנית התמיכה במחקר המסלול המהיר.

Access restricted. Please log in or start a trial to view this content.

Materials

List of materials used in this article
NameCompanyCatalog NumberComments
GPU A100NVIDIAכרטיס מסך 80G
ibm_brisbaneיבמhttps://quantum.ibm.com/המחשב הקוונטי המוליך-על ממשפחת IBM Quantum Eagle.
python3.10קרן התוכנה של פייתוןhttps://www.python.org/downloads/release/python-3100/
קיסקיטיבמhttps://www.ibm.com/quantum/qiskitSDK בקוד פתוח לעבודה עם מחשבים קוונטיים ברמת מעגלים קוונטיים מורחבים, אופרטורים ופרימיטיבים.

References

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,
  1. Quantum cryptography in practice. Elliott, C., Pearson, D., Troxel, G. Proc Conf Appl Technol Archit Protocols Comput Commun, 2003, 227-238 (2003).
  2. Quantum cryptography: Public key distribution and coin tossing. Bennett, C. H., Brassard, G. Proc IEEE Int Conf Comput Syst Signal Process, 1 (1), 175-179 (1984).
  3. Techateerawat, P. A review on quantum cryptography technology. Int Trans J Eng Manage Appl Sci Technol. 1 (1), 35-41 (2010).
  4. Khan, M. M., Murphy, M., Beige, A. High error-rate quantum key distribution for long-distance communication. New J Phys. 11 (6), 063043(2009).
  5. Serna, E. H. Quantum key distribution protocol with private-public key. arXiv Prepr arXiv. 0908.2146, 1-12 (2009).
  6. Serna, E. H. Quantum key distribution from a random seed. arXiv Prepr arXiv. 1311.1582, 1-9 (2013).
  7. Roy, K. S., Kalita, H. K. A survey on post-quantum cryptography for constrained devices. Int J Appl Eng Res. 14 (11), 2608-2615 (2019).
  8. Ajtai, M. Generating hard instances of lattice problems. Proc ACM Symp Theory Comput. 28, 99-108 (1996).
  9. Mohamed, M. S. E., Petzoldt, A. The shortest signatures ever. Prog Cryptol INDOCRYPT LNCS. 10095, 61-77 (2016).
  10. Merkle, R. C. Secrecy, authentication, and public key systems. 1 (1), PhD Diss Stanford Univ. 1-177 (1979).
  11. McEliece, R. J. A public-key cryptosystem based on algebraic coding theory. Deep Space Netw Prog Rep. 42 (44), 114-116 (1978).
  12. Chen, L., et al. Report on post-quantum cryptography. NIST IR. 8105, 1-37 (2016).
  13. Ruiz-Perez, L., Garcia-Escartin, J. C. Quantum arithmetic with the quantum Fourier transform. Quantum Inf Process. 16 (6), 1-14 (2017).
  14. Schönhage, A. Multiplikation großer Zahlen. Comput. 1 (3), 182-196 (1966).
  15. Fürer, M. Faster integer multiplication. Proc ACM Symp Theory Comput. 39, 57-66 (2007).
  16. Quantum division circuit based on restoring division algorithm. Khosropour, A., Aghababa, H., Forouzandeh, B. Proc Int Conf Inf Technol New Generations (ITNG), 2011, 1037-1040 (2011).
  17. Jha, M. S., Maity, S. K., Nirmal, M. K., Krishna, J. A survey on quantum cryptography and quantum key distribution protocols. Int J Adv Res Ideas Innov Technol. 5 (2), 144-147 (2019).
  18. Zhang, C. M., et al. Fast implementation of length-adaptive privacy amplification in quantum key distribution. Chin Phys B. 23 (9), 090310(2014).
  19. Hassan, V. T. M., Khetawat, H., Neri, A., Rodrigues, A., Wong, T. QArithmetic. GitHub Repository. , https://github.com/hkhetawat/QArithmetic (2020).
  20. Owens, D., El Khatib, R., Bisheh-Niasar, M., Azarderakhsh, R., Mozaffari Kermani, M. Efficient and side-channel resistant Ed25519 on ARM Cortex-M4. IEEE Trans Circuits Syst I Regul Pap. 71 (6), 2674-2686 (2024).
  21. Bisheh-Niasar, M., Azarderakhsh, R., Mozaffari Kermani, M. Optimized architectures for elliptic curve cryptography over Curve448. Cryptology ePrint Arch. 1 (1), 1-23 (2020).
  22. Cintas-Canto, A., Mozaffari Kermani, M., Azarderakhsh, R. Error detection constructions for ITA finite field inversions over GF(2^m) on FPGA using CRC and Hamming codes. IEEE Trans Reliab. 72 (2), 651-661 (2023).
  23. Opiłka, F., Niemiec, M., Gagliardi, M., Kourtis, M. A. Performance analysis of post-quantum cryptography algorithms for digital signature. Appl Sci. 14 (12), 4994(2024).
  24. Post-quantum cryptography: A review of techniques, challenges and standardizations. Bavdekar, R., Chopde, E. J., Agrawal, A., Bhatia, A., Tiwari, K. Proc Int Conf Inf Networking (ICOIN), 2023, 146-151 (2023).

Access restricted. Please log in or start a trial to view this content.

Reprints and Permissions

Request permission to reuse the text or figures of this JoVE article

Request Permission

Tags

Quantum AlgorithmPost Quantum CryptographyQuantum ComputingQuantum CryptographyQuantum Fourier TransformationQuantum Random Number GeneratorQuantum MultiplicationQuantum CircuitQuantum CommunicationIBM Qiskit

Related Articles