Name: linearizing nonlinear state-space models
Uploaded: 2024-11-21T14:54:05.000Z
Duration: 1 min 21 s
Channel: JoVE

I sistemi non lineari trovano una modellazione superiore nella rappresentazione nello spazio degli stati.
Si consideri un semplice pendolo rappresentato nello spazio degli stati con il centro di massa a metà lunghezza. Il peso e la coppia applicata sono fattori significativi.
La somma delle coppie porta a un'equazione differenziale. Vengono selezionate le variabili di stato e formulate le equazioni di stato.
Per linearizzare l'equazione intorno al punto di equilibrio, si considerino le variabili di stato perturbate intorno al punto di equilibrio.
L'approssimazione della serie di Taylor viene impiegata e risolta, risultando in equazioni di stato lineari.
Si consideri un sistema di molle non lineari. Formulare un'equazione differenziale e introdurre una piccola perturbazione.
Questa equazione viene quindi linearizzata. Sostituendo questo ed eseguendo la differenziazione si ottiene l'equazione differenziale intermedia linearizzata.
La forza di equilibrio viene utilizzata per calcolare xo, formando infine l'equazione differenziale linearizzata finale.
Vengono selezionate le variabili di stato e vengono scritte le equazioni di stato e di output, fornendo un modello completo del sistema nello spazio degli stati. Infine, tutte le equazioni vengono convertite in forma di matrice vettoriale.

approssimazione lineare nel dominio del tempo

Linear Approximation in Time Domain

I sistemi non lineari, spesso richiedono approcci sofisticati per una modellazione e un'analisi accurate, con una rappresentazione dello spazio di stato, particolarmente efficace. Questo metodo, è particolarmente utile per i sistemi in cui variabili e parametri variano con il tempo o le condizioni operative, come in un semplice pendolo o in un sistema meccanico traslazionale con molle non lineari.

Per un pendolo semplice, con una massa distribuita uniformemente lungo la sua lunghezza e il centro di massa situato a metà della lunghezza del pendolo, il comportamento dinamico, può essere identificato sommando le coppie attorno al punto di perno. L'equazione differenziale risultante, incorpora gli effetti della forza gravitazionale e della coppia applicata. Per rappresentarlo in forma di spazio di stato, vengono scelte variabili di stato per descrivere la posizione e la velocità del sistema. Queste variabili di stato, portano alla formulazione di equazioni di stato, che descrivono l'evoluzione temporale del sistema.

La linearizzazione di queste equazioni di stato non lineari attorno a un punto di equilibrio, comporta la considerazione di piccole perturbazioni. Perturbando le variabili di stato attorno ai loro valori di equilibrio e applicando un'espansione in serie di Taylor, i termini non lineari, possono essere approssimati dalle loro controparti lineari. Questa approssimazione, produce equazioni di stato lineari che possono essere analizzate utilizzando la teoria dei sistemi lineari.

Nel caso di un sistema meccanico traslazionale con una molla non lineare, la dinamica del sistema, è governata in modo simile da un'equazione differenziale che tiene conto della forza della molla non lineare. L'introduzione di una piccola perturbazione attorno alla posizione di equilibrio, consente la linearizzazione dell'equazione differenziale. Viene calcolata la forza di equilibrio in x0 (la posizione di equilibrio), e viene differenziata l'equazione perturbata, per ottenere un'equazione differenziale linearizzata.

La rappresentazione finale linearizzata dello spazio di stato, comporta la selezione di variabili di stato appropriate, che spesso includono la posizione e la velocità della massa. Vengono quindi formulate equazioni di stato ed equazioni di output. La conversione di queste equazioni in forma di matrice vettoriale, fornisce un modello lineare completo del sistema. Questo modello, può essere analizzato utilizzando varie tecniche di controllo e stima lineare, facilitando la progettazione e l'implementazione di strategie di controllo, per sistemi che sono intrinsecamente non lineari.

Approssimazione Lineare nel Dominio del Tempo

I sistemi non lineari trovano una modellazione superiore nella rappresentazione nello spazio degli stati.
Si consideri un semplice pendolo rappresentato nello spazio-stati con il centro di massa a ...

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Unit 1

Unità 1

Modeling in Time and Frequency Domain

Modellazione nel dominio del tempo e della frequenza

KEY TERMS AND CONCEPTS

TERMINI E CONCETTI CHIAVE

linearizing nonlinear state-space models

Linearizing nonlinear state-space models helps describe systems that change with time or operating conditions. State-space representation is often effective for this kind of modeling. It is especially useful for systems such as a simple pendulum or a translational mechanical system with nonlinear springs.

A simple pendulum can be modeled by summing torques around the pivot point. In this case, the mass is evenly distributed along the pendulum, and the center of mass is located at half its length. The resulting differential equation includes gravitational force and any applied torque. State variables are then chosen to represent position and velocity.

These state variables lead to state equations, which describe how the system changes over time. To study the system near an equilibrium point, small perturbations are added to the state variables. A Taylor series expansion is then used to approximate the nonlinear terms with linear ones. The result is a set of linear state equations that can be analyzed with linear system theory.

The same idea applies to a translational mechanical system with a nonlinear spring. Its motion is governed by a differential equation that includes the nonlinear spring force. A small perturbation around the equilibrium position allows the equation to be linearized. The equilibrium force at x0, the position of equilibrium, is calculated, and the perturbed equation is differentiated to obtain a linearized differential equation.

The final linearized state-space model uses appropriate state variables, often position and velocity of the mass. State equations and output equations are written in vector-matrix form. This linear model makes it easier to apply linear control and estimation methods to systems that are inherently nonlinear.

Linearizing Nonlinear State-Space Models

transfer function in control systems

Transfer Function from Input to Output

The transfer function describes how a linear time-invariant, or LTI, system maps an input to an output in the frequency domain. It gives a compact way to study system behavior without working only in the time domain. It also connects the differential equations of the system to a form that is easier to handle mathematically. For an nth-order LTI system, the behavior is written as a differential equation with constant coefficients. In that equation, r(t) is the input and c(t) is the output. The...

electrical systems

RLC Circuit Transfer Functions

RLC circuits use resistors, capacitors, and inductors to show how electrical signals change over time. In circuit analysis, these passive linear components are arranged so the link between an input and an output can be described with a transfer function. For this topic, the output is the voltage across the capacitor, compared with the input voltage. A series RLC circuit can be analyzed with Kirchhoff's Voltage Law, or KVL. KVL says that the sum of all voltages around a closed loop is zero.

mechanical systems

Transfer Functions in Mechanical Motion

Mechanical motion can be modeled with springs, masses, and viscous dampers. In these models, springs behave like inductors and masses act like capacitors in an electrical network. A viscous damper works like a resistor because it removes energy from the system. A force acts on the mass in the direction of motion. It is balanced by the spring force, the damping force, and the force from the mass’s acceleration. Newton’s second law is used to describe this balance, and the sum of the forces on...

electro-mechanical systems

DC Motor Modeling in Electromechanical Systems

DC motor modeling is a key part of electromechanical systems. These systems combine electrical parts and mechanical parts to produce a useful output. A DC motor is one common example because it turns electrical energy into mechanical motion. It is used in many places, from simple fans to complex robotic mechanisms. Inside the DC motor, the armature is a rotating circuit placed in a magnetic field. When current flows through the armature, it experiences a force from the magnetic field. That...

linear approximation in frequency domain

Linearizing Nonlinear RL Circuits

Linearizing nonlinear RL circuits helps turn a hard circuit problem into a simpler linear one. Linear systems follow superposition, which means the total response equals the sum of the responses to separate inputs. They also follow homogeneity, which means scaling the input scales the output by the same amount. Nonlinear systems do not automatically have those properties. For small changes around an operating point, though, a nonlinear system can often be treated as linear. This is done with a...

state space representation

RLC Circuit State Equations

RLC circuit state equations show how a circuit changes over time using state variables. This time-domain method is useful for linear, time-invariant systems, but it also helps when frequency-domain analysis is not enough. It is especially useful for nonlinear systems, time-varying systems, and multiple-input multiple-output systems. The state-space approach turns an nth-order system into a set of simultaneous first-order differential equations called state equations. For a common second-order...

transfer function to state space

Phase-Variable State Equations from Transfer Functions

Phase-variable state equations show how a transfer function can be rewritten for computer simulation. In state-space form, the system is described with state variables, which are the output and its first several derivatives. This makes it easier to model a physical system on a digital computer. The starting point is an nth-order linear differential equation with constant coefficients. Systems like an RLC circuit can be written this way. To build the state equations, the transfer function is...

state space to transfer function

Finding a Transfer Function from State Space

Finding a transfer function from state-space form is a key step in system analysis. It changes a time-domain model into a frequency-domain form. That makes it easier to study and design control systems. The process starts with the state-space equations. These include the state equation and the output equation. In these equations, x(t) is the state vector, u(t) is the input vector, y(t) is the output vector, and A, B, C, and D are the matrices that define the system dynamics. Next, the Laplace...

linear approximation in time domain

Linearizing nonlinear state-space models helps describe systems that change with time or operating conditions. State-space representation is often effective for this kind of modeling. It is especially useful for systems such as a simple pendulum or a translational mechanical system with nonlinear springs. A simple pendulum can be modeled by summing torques around the pivot point. In this case, the mass is evenly distributed along the pendulum, and the center of mass is located at half its...

key terms and concepts

Learn how nonlinear systems like a pendulum or spring-mass setup are linearized with small perturbations, Taylor series, and state-space equations.

Linearizing Nonlinear State-Space Models | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

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Linearizing Nonlinear State-Space Models

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