Equazione di Poisson e di Laplace

Nella notazione vettoriale, il campo elettrico è espresso come un gradiente negativo di potenziale elettrico. Qui, il gradiente del potenziale punta sempre verso la più ripida diminuzione del potenziale, e la sua soluzione dà un vettore, un campo elettrico.

Secondo la forma differenziale della legge di Gauss, il gradiente di un campo elettrico è uguale al rapporto tra la densità di carica del volume racchiuso e la permittività nello spazio libero.

Sostituendo il gradiente di potenziale nella legge di Gauss si ottiene un'espressione per l'equazione di Poisson. Qui, la divergenza del gradiente del potenziale scalare è l'operatore laplaciano, che risulta in una funzione scalare.

Laplaciano è analogo alla differenziazione del secondo ordine delle quantità scalari. Per quanto riguarda il potenziale elettrico è più basso quando si è vicini ai minimi locali, e più alto quando si è vicini ai massimi locali.

Quando la carica del volume racchiusa è zero, l'equazione di Poisson si riduce all'equazione di Laplace.

L'equazione di Laplace ha una soluzione unica in un dato volume se viene specificato il potenziale al confine della superficie, dato dal primo teorema di unicità.