30.15: La forma differenziale delle equazioni di Maxwell

James Clerk Maxwell (1831-1879) è stato uno dei principali contribuenti alla fisica nel diciannovesimo secolo. È probabilmente meglio conosciuto per aver combinato le conoscenze esistenti sulle leggi dell'elettricità e le leggi del magnetismo con le sue intuizioni per formare una teoria elettromagnetica completa e globale, rappresentata dalle equazioni di Maxwell. Le quattro leggi fondamentali dell'elettricità e del magnetismo sono state scoperte sperimentalmente attraverso il lavoro di fisici come Oersted, Coulomb, Gauss e Faraday. Maxwell ha scoperto incongruenze logiche in questi risultati precedenti e ha identificato l'incompletezza della legge di Ampère come causa di esse. Le equazioni di Maxwell e la legge della forza di Lorentz comprendono tutte le leggi dell'elettricità e del magnetismo.

Le forme integrali delle equazioni di Maxwell contengono tutte le informazioni sull'interdipendenza delle grandezze di campo e sorgente su una data regione dello spazio. Tuttavia, queste equazioni non permettono di studiare l'interazione tra i vettori di campo e le loro relazioni con le densità di sorgente in singoli punti. Le equazioni di Maxwell nella forma differenziale possono essere derivate applicando le equazioni di Maxwell nella forma integrale a percorsi, superfici e volumi chiusi infinitesimali, in modo che il limite si riduca a punti. Le equazioni differenziali collegano le variazioni spaziali dei vettori di campo elettrico e magnetico in un dato punto alle loro variazioni temporali.

Inoltre, la forma differenziale delle equazioni di Maxwell correla anche le variazioni spaziali di entrambi i campi alle densità di carica e corrente in un dato punto. Raggruppando i termini dei campi elettrici e magnetici da un lato e le sorgenti che producono questi campi dall'altro, si suggerisce che le cariche e le correnti producano tutti i campi elettromagnetici. Le equazioni di Maxwell mostrano che le cariche producono campi elettromagnetici, mentre le leggi della forza stabiliscono che i campi influenzano le cariche.

Le quattro equazioni di Maxwell spiegano i fondamenti dell'elettromagnetismo.

Applicando il teorema di divergenza alla legge di Gauss e riscrivendo la carica racchiusa in termini di densità di carica totale si ottiene la forma differenziale della legge di Gauss.

Allo stesso modo, applicando il teorema di divergenza alla legge di Gauss per il campo magnetico si ottiene la forma differenziale della legge di Gauss nel magnetismo.

Inoltre, riorganizzando la legge di Faraday e applicando ad essa il teorema di Stoke, si ottiene la legge di Faraday nella forma differenziale.

Si consideri l'equazione di Ampère-Maxwell, in cui la corrente racchiusa può essere espressa in termini dell'integrale della densità di corrente.

Ora, riorganizzando i termini e applicando ad esso il teorema di Stoke, si ottiene la forma differenziale dell'equazione di Ampère-Maxwell.

Raggruppare i termini dei campi elettrici e magnetici da un lato e le sorgenti che producono questi campi dall'altro suggerisce che tutti i campi elettromagnetici sono prodotti da cariche e correnti.

La forma integrale dell'equazione di Maxwell si applica ai campi in una regione contenente carica o corrente, mentre la forma differenziale si applica in un dato punto con densità di carica e corrente.