Criterio della energia potenziale per l'equilibrio

Si consideri un sistema molla-massa senza attrito la cui posizione è definita da una variabile indipendente. Qui, l'energia potenziale è la somma delle energie potenziali gravitazionali ed elastiche, e il negativo della sua variazione è uguale al lavoro svolto sul sistema.

Se il sistema è in equilibrio e subisce uno spostamento virtuale, il lavoro svolto può essere sostituito dal lavoro virtuale.

Dal principio del lavoro virtuale, il lavoro è zero per tutti gli spostamenti virtuali, e quindi anche la variazione dell'energia potenziale è zero. Per piccoli spostamenti virtuali, l'energia potenziale è espressa in termini della sua derivata prima con la coordinata di posizione.

Poiché lo spostamento virtuale non è zero, la derivata prima dell'energia potenziale deve essere zero. Quindi, un sistema è in equilibrio quando la derivata prima della sua energia potenziale è zero.

Applicando questo criterio al sistema molla-massa si ottiene la sua posizione di equilibrio.

Se l'energia potenziale dipende da più variabili indipendenti, allora la derivata parziale dell'energia potenziale per ciascuna coordinata deve essere zero per l'equilibrio.