15.5: La frequenza di un sistema massa-molla

Una caratteristica interessante del moto armonico semplice (SHM) di un oggetto attaccato a una molla è che la frequenza angolare e il periodo e la frequenza del moto dipendono solo dalla massa e dalla costante elastica della molla, e non da altri fattori come l'ampiezza del moto o le condizioni iniziali. Possiamo utilizzare le equazioni del moto e la seconda legge di Newton per trovare la frequenza angolare, la frequenza e il periodo.

Consideriamo un blocco su una molla su una superficie priva di attrito. Ci sono tre forze sulla massa: il peso, la forza normale e la forza dovuta alla molla. Le uniche due forze che agiscono perpendicolarmente alla superficie sono il peso e la forza normale, che hanno magnitudini uguali e direzioni opposte; di conseguenza, la loro somma è zero. L'unica forza che agisce parallelamente alla superficie è la forza dovuta alla molla, quindi la forza netta deve essere uguale alla forza della molla.

Secondo la legge di Hooke, fintanto che le forze e le deformazioni sono abbastanza piccole, la magnitudine della forza della molla è proporzionale alla prima potenza dello spostamento. A causa di questo, il sistema massa-molla è chiamato oscillatore armonico semplice lineare.

Sostituendo le espressioni per accelerazione e spostamento nella seconda legge di Newton, si può ottenere l'equazione per la frequenza angolare:

La frequenza angolare dipende solo dalla costante elastica e dalla massa, non dall'ampiezza. È anche correlata con il periodo di oscillazione utilizzando la relazione data:

Il periodo dipende solo dalla massa e dalla costante elastica. Maggiore è la massa, più lungo è il periodo. Più rigida è la molla, più breve è il periodo. La frequenza è:

Si consideri un blocco di massa m collegato a una molla orizzontale, posizionato su una superficie priva di attrito.

La forza netta sul blocco è la somma della forza dovuta al suo peso, della forza normale e della forza dovuta alla molla.

Poiché il peso e la forza normale sono di uguale grandezza e di direzione opposta, si annullano a vicenda e la forza netta diventa uguale alla forza dovuta alla molla.

Qui, l'entità della forza è proporzionale alla prima potenza di spostamento. Per questo motivo, il sistema molla-massa è chiamato oscillatore armonico lineare semplice.

Usando la seconda legge di Newton, la forza può essere espressa in termini di accelerazione.

Sostituendo le espressioni per accelerazione e spostamento, si ottiene l'equazione per la frequenza angolare.

La frequenza angolare è anche definita come 2π nel periodo di oscillazione.

Inoltre, l'inverso del periodo è la frequenza di oscillazione.

Una molla rigida produce oscillazioni rapide e un breve periodo. In confronto, un oggetto pesante tende a produrre oscillazioni lente e un periodo ampio.