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Costruzione del Luogo delle Radici
La costruzione di un luogo delle radici, comporta diversi passaggi chiave, per analizzare e visualizzare il comportamento dei poli di un sistema con g…
La costruzione del locus radicale comporta la determinazione del numero di rami che equivale al numero di poli a circuito chiuso. Il luogo della radice è simmetrico rispetto all'asse reale.
Il locus radice esiste sulla parte dell'asse reale dove la somma del numero totale di poli finiti ad anello aperto e zeri a sinistra è dispari.
Originato dai poli ad anello aperto, il locus traccia i poli del sistema ad anello chiuso con guadagno crescente e termina agli zeri ad anello aperto, dove i poli del sistema si stabilizzano con il guadagno crescente.
Una funzione che si avvicina all'infinito come s si avvicina all'infinito ha un polo all'infinito. Se si avvicina allo zero, ha uno zero all'infinito.
Quando il locus radicale si muove verso l'infinito, si avvicina a certe linee rette note come asintoti. Per un dato sistema, vengono calcolati l'intercetta e l'angolo dell'asse reale. All'aumentare del guadagno, gli angoli iniziano a ripetersi.
La loro equazione, basata sull'intercetta e sull'angolo dell'asse reale, rivela il percorso dei loci dai poli all'infinito.
Il locus ha origine dai poli ad anello aperto e termina agli zeri ad anello aperto.
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Q1: How many branches does a root locus have?
The number of branches in a root locus equals the number of closed-loop poles in the system. Each branch represents the path of one closed-loop pole as the gain varies. The root locus is symmetrical about the real axis, meaning branches appear in mirror-image pairs for complex poles.
Q2: Where does the root locus start and end?
The root locus originates at the open-loop poles and terminates at the open-loop zeros. As gain increases, the closed-loop poles trace paths from the pole locations toward the zero locations. When the locus reaches the zeros, the system poles stabilize with rising gain.
Q3: What determines where the root locus exists on the real axis?
The root locus exists on the real axis where the sum of the total number of finite open-loop poles and zeros to the left is odd. This rule applies for positive gain values and helps identify which segments of the real axis contain locus branches.
Q4: What are asymptotes in root locus construction?
Asymptotes are straight lines that the root locus approaches as it extends toward infinity. Their equations are determined by the real-axis intercept and specific angles based on the number of poles and zeros. These asymptotes guide the locus paths from the poles to infinity as gain increases.
Q5: How do poles and zeros at infinity affect root locus?
If a function approaches infinity as s approaches infinity, the system has a pole at infinity. If it approaches zero, it has a zero at infinity. These conditions influence the asymptotic behavior and determine how the root locus behaves as gain becomes very large.
Q6: Why is the root locus symmetrical about the real axis?
The root locus is symmetrical about the real axis because complex poles in linear systems always occur in conjugate pairs. This symmetry reflects the fundamental property that complex roots of characteristic equations with real coefficients must be conjugates, ensuring mirror-image behavior across the real axis.
Q7: How does the root locus method help in control system design?
The root locus method visualizes how closed-loop poles migrate with increasing gain, enabling engineers to analyze system stability and response. By plotting and calibrating the root locus, designers can predict system behavior across operating conditions and tune control parameters to achieve desired performance and stability.