15.3: Curve di sopravvivenza

Le curve di sopravvivenza sono rappresentazioni grafiche che descrivono la probabilità di sopravvivenza di una popolazione nel tempo, offrendo un modo intuitivo per tracciare la percentuale di individui che rimangono privi di eventi in ogni momento. Queste curve sono ampiamente utilizzate in campi come la medicina, la sanità pubblica e l'ingegneria dell'affidabilità per visualizzare e confrontare le probabilità di sopravvivenza tra diversi gruppi o condizioni.

Lo stimatore di Kaplan-Meier è il metodo più comune per costruire curve di sopravvivenza. Questo approccio non parametrico genera una funzione graduale, in cui la curva scende ogni volta che si verifica un evento (come morte, recidiva di malattia o guasto meccanico). I segmenti orizzontali tra le cadute indicano periodi di stabilità, durante i quali non si verificano eventi. L'asse x della curva rappresenta il tempo, mentre l'asse y mostra la probabilità di sopravvivenza, che va da 0 a 1. Le curve di sopravvivenza forniscono diverse informazioni chiave:

1. Probabilità di sopravvivenza nel tempo:

   la curva illustra la probabilità che gli individui sopravvivano oltre specifici punti temporali. Ad esempio, se una curva di sopravvivenza per un gruppo di trattamento rimane più alta di quella di un gruppo di controllo, indica l'efficacia del trattamento nel prolungare la vita o ritardare l'evento.

2. Tempo di sopravvivenza mediano:

   il tempo di sopravvivenza mediano è il punto in cui la probabilità di sopravvivenza scende a 0,5, indicando il tempo entro il quale si prevede che metà della coorte abbia sperimentato l'evento. Questa metrica è particolarmente importante negli studi clinici come parametro di riferimento per l'efficacia del trattamento.

3. Confronti di gruppo:

   le curve di sopravvivenza sono strumenti efficaci e utili a confrontare le esperienze di sopravvivenza di gruppi diversi, come pazienti sottoposti a vari trattamenti o sistemi sottoposti a diverse condizioni di stress. Test statistici come il test dei ranghi logaritmici sono spesso utilizzati insieme alle curve di sopravvivenza per determinare se le differenze osservate tra i gruppi sono statisticamente significative.

Ad esempio, in uno studio clinico che confronta due terapie contro il cancro, le curve di sopravvivenza possono rivelare quale trattamento offre migliori risultati di sopravvivenza. Una curva che declina più gradualmente indica un gruppo con migliori probabilità di sopravvivenza. Allo stesso modo, nell'ingegneria dell'affidabilità, le curve di sopravvivenza vengono impiegate per stimare la durata di vita di componenti o sistemi, consentendo un'efficace pianificazione della manutenzione e un'analisi dei guasti.

Fornendo una chiara e accessibile rappresentazione visiva di dati complessi, relativi ad un certo periodo di tempo e per l’osservazione di eventi specifici, le curve di sopravvivenza svolgono un ruolo cruciale nell'analisi dei dati. La loro capacità di riassumere le probabilità di sopravvivenza, identificare parametri chiave come il tempo di sopravvivenza mediano e facilitare i confronti di gruppo le rende indispensabili in una vasta gamma di applicazioni.

Si consideri un grafico della probabilità cumulativa di morte tracciata come età sull'asse X rispetto alla proporzione di morti sull'asse Y per un anno specifico.

Questo può essere espresso come un'equazione, dove la funzione di distribuzione cumulativa F(t) è il rapporto tra il numero di persone morte per tempo t e il numero totale osservato.

Poiché tutti i membri della popolazione non vengono osservati fino alla morte, questa curva non può stimare la sopravvivenza.

Quindi, la funzione di sopravvivenza o curva di sopravvivenza – S(t) – è la proporzione o la percentuale di persone che vivono fino a t o oltre. Esso è espresso come segue.

La curva di sopravvivenza viene quindi tracciata utilizzando l'età e la percentuale di persone sopravvissute.

Esistono vari tipi di modelli di sopravvivenza. Il modello di sopravvivenza esponenziale caratterizza un pericolo costante nel tempo, il che significa che il rischio che l'evento si verifichi è indipendente dal tempo.

Il modello di sopravvivenza di Weibull può essere utilizzato in varie situazioni in cui il tasso di rischio aumenta o diminuisce monotonicamente nel tempo.

I modelli Log-normale e log-logistico possono essere utilizzati in scenari in cui il tasso di rischio non è monotono.