Derivate delle funzioni trigonometriche

Considera una ruota panoramica che ruota a velocità costante. L'altezza verticale di un punto sul suo bordo cambia dolcemente nel tempo, seguendo un'onda sinusoidale.

Anche la velocità di variazione di altezza del cavaliere varia in modo fluido e ciclico, come un'altra onda. Questa velocità variabile corrisponde alla derivata della funzione seno.

Per trovare la derivata del seno x, partire dalla definizione limite di una derivata e applicarla al seno x.

Per prima cosa, espandere il seno di (x + h) usando la formula di addizione. Poi, riorganizza i termini ed escludi il seno x e il coseno x.

Quando h si avvicina a zero, il coseno h meno 1 su h si avvicina a zero, e il seno h su h tende a 1.

Sostituendo questi limiti, si scopre che la derivata del seno x è coseno x.

Lo stesso approccio mostra che la derivata del coseno x è un seno negativo x.

Poiché la funzione tangente è il rapporto tra seno e coseno, per trovare la derivata si applica la regola del quoziente. Ora, sostituendo i valori delle derivate delle funzioni seno e coseno e semplificando usando identità trigonometriche, si ottiene la derivata della tangente come secante al quadrato.