Limiti delle funzioni trigonometriche

Un limite trigonometrico fondamentale è il limite del seno theta diviso per theta quando theta tende a zero, che è uguale a uno.

Per visualizzare, consideriamo un cerchio unitario e un piccolo angolo theta misurato dall'asse x positivo.

Si traccia un arco corrispondente a questo angolo. Per un cerchio unitario, la lunghezza dell'arco è numericamente uguale all'angolo in radiani.

Una linea verticale viene costruita dal punto finale dell'arco all'asse x. Questo segmento di linea rappresenta il seno di theta. Poiché la retta BC è sempre minore dell'arco AB, si deriva una relazione seno theta su theta minore di uno.

Il raggio si estende dal centro O fino al punto B fino a intersecare la retta tangente al punto A in un punto D. La lunghezza del segmento di linea AD rappresenta tan theta. Geometricamente, la lunghezza d'arco theta è inferiore alla lunghezza del segmento tangente AD, che può essere riscritta in termini di seno e coseno theta.

Usando entrambe le relazioni, si deriva la disuguaglianza. Quando theta si avvicina a zero, i valori esterni convergono a uno. Poiché il rapporto tra seno e theta si trova tra loro, si avvicina anche a uno.