La regola della catena

Consideriamo un sistema di tre marce, dove x, y e z rappresentano rispettivamente le velocità di rotazione della prima, seconda e terza marcia.

La prima marcia gira la seconda, che gira la terza. Il sistema viene analizzato utilizzando la Chain Rule con una relazione variabile a due stadi.

Il primo stadio esprime la dipendenza della rotazione della seconda marcia dalla prima, con z in funzione di x.

Il secondo stadio esprime la dipendenza della rotazione della terza marcia dalla seconda, con y come funzione di z.

Ne consegue che l'uscita del primo stadio diventa l'ingresso del successivo, formando una funzione composita.

Un piccolo cambio in una marcia provoca cambiamenti nelle altre. Per trovare il tasso di variazione istantaneo in y su x, si prende il rapporto di Delta y rispetto a Delta x con il limite quando Delta x si avvicina a zero. Introducendo la variabile intermedia, delta z, questo rapporto viene riscritto.

Quando Delta x si avvicina a zero, anche Delta z si avvicina a zero. Allora il limite del prodotto dei rapporti è espresso come il prodotto di due derivate, dando la Regola della Catena. Questo dà la derivata di una funzione composita come derivata della funzione esterna moltiplicata per la derivata della funzione interna.