Derivate seconde e forma del grafico

La concavità di un grafo—la sua piega verso l'alto o verso il basso—deriva dalla seconda derivata della sua funzione, che mostra come il grafico curva e come cambia la pendenza.

Una derivata secondaria positiva significa che il grafo è concava verso l'alto. La pendenza aumenta in queste regioni e il grafo si trova sopra le sue linee tangenti.

Una derivata secondaria negativa significa che il grafo è concava verso il basso. In queste regioni, la pendenza diminuisce e il grafo si trova sotto le sue linee tangenti.

Se la seconda derivata è zero o indefinita, il punto può essere un punto di flessione. A questo punto, il grafico cambia da concavo verso l'alto verso il basso, o viceversa.

Questi punti dividono il dominio in intervalli per testare la concavità. Il test della seconda derivata viene utilizzato nei punti critici trovati dalla prima derivata.

Se la seconda derivata è positiva in un punto critico, il grafo curva verso l'alto e il punto è un minimo locale.

Se la seconda derivata è negativa in un punto critico, il grafico curva verso il basso e il punto è un massimo locale.

Nel marketing, la seconda derivata mostra come cambiano i rendimenti. Un grafico concavo verso il basso con benefici pubblicitari significa che spese extra portano guadagni minori, mentre una curva concava verso l'alto fa crescere i guadagni più rapidamente.