Teorema fondamentale del calcolo I: risoluzione di problemi

Un sistema di approvvigionamento idrico pompa acqua in un serbatoio di accumulo, ma la portata cambia nel tempo, modellata da una funzione f(t).

L'obiettivo è calcolare il volume totale di acqua che è entrata nel serbatoio dal tempo zero al tempo t.

Questo calcolo è cruciale nella gestione dell'acqua, dove il monitoraggio accurato dei volumi influisce sul controllo della pressione, la programmazione e la sicurezza del sistema.

Graficamente, il volume richiesto è uguale all'area sotto la curva di f(t) da zero a t, e viene calcolato usando un integrale definito.

Per evitare confusione con il limite superiore t, all'interno dell'integrale viene usata una variabile diversa, s. Questa variabile fittizia funge da segnaposto che cambia nel tempo.

Risolvendo questo integrale fino al tempo t si ottiene il volume accumulato V(t). Ora, per capire come cambia il volume totale in un momento specifico, si può usare la prima parte del Teorema Fondamentale del Calcolo.

Afferma che la derivata di V(t) è uguale alla funzione di portata originale.

Ciò significa che la velocità istantanea di variazione del volume totale è uguale alla velocità di afflusso in quel momento.