Regola della sostituzione applicata agli integrali indefiniti

Quando una forza viene applicata a una molla lineare, la forza di ripristino aumenta uniformemente con lo spostamento. Questa relazione segue la legge di Hooke, che consente il calcolo del lavoro svolto dalla curva forza-spostamento.

Per una molla non lineare, la legge di Hooke non si applica. La forza di ripristino cambia con la posizione, quindi il grafico forza-spostamento diventa curvo.

Il lavoro totale svolto nello stiramento della molla è determinato integrando questa forza rispetto allo spostamento.

Tuttavia, l'integrale è difficile da risolvere direttamente perché un termine a radice quadrata complica il processo di integrazione standard.

Per semplificare l'integrale, si usa la regola della sostituzione. Introduce una nuova variabile per il termine complesso. Differenziare la variabile e riorganizzare la derivata ci aiuta a sostituire gli altri termini all'interno dell'integrale.

Applicando la sostituzione, il termine all'interno della radice quadrata si trasforma in un'espressione più semplice, convertendo l'integrale in una singola funzione di potenza.

Dopo l'integrazione, la nuova variabile viene sostituita con la variabile di spostamento originale, preservandone l'interpretazione fisica.

L'espressione finale rappresenta il lavoro necessario per allungare una molla non lineare.