Sostituzione trigonometrica

I satelliti Molniya, noti per le loro orbite altamente ellittiche, tracciano regioni distinte dello spazio durante ogni rivoluzione attorno alla Terra.

Per stimare l'area racchiusa, l'orbita viene modellata come un'ellisse nella sua forma standard, che viene poi riorganizzata in un'espressione che coinvolge un termine a radice quadrata.

Poiché l'ellisse è simmetrica rispetto a entrambi gli assi, l'area nel primo quadrante viene calcolata tramite integrazione e poi moltiplicata per quattro per ottenere l'area totale.

Qui, l'integrazione diretta è difficile a causa della radice quadrata. Per risolvere questo problema, si utilizza la sostituzione trigonometrica sostituendo x in termini della funzione seno. Questa sostituzione converte il termine della radice quadrata in una semplice funzione coseno, e il differenziale cambia di conseguenza.

I limiti di integrazione vengono quindi aggiornati per corrispondere al dominio angolare, variando da zero a pi su due. L'integrando viene riscritto utilizzando un'identità trigonometrica per semplificare il processo di integrazione. Questo integrale definito viene valutato sui nuovi limiti.

L'espressione finale fornisce l'area totale spazzata dal satellite durante un'orbita completa.