Integrali impropri: intervalli infiniti

Un integrale è considerato improprio a causa di un intervallo infinito quando il limite superiore o inferiore di integrazione si estende all'infinito, creando una regione non limitata sotto la curva.

In questo caso, il limite infinito viene sostituito da una variabile, e l'integrale viene valutato prendendo il limite mentre quella variabile tende all'infinito.

Questo metodo aiuta a determinare se l'area totale sotto la curva rimane finita anche su un dominio infinito.

Un esempio pratico è calcolare l'intensità totale integrata della luce che attraversa un mezzo, come la nebbia, su una distanza infinita, assumendo che il mezzo sia uniforme.

In tali casi, l'intensità della luce diminuisce con la distanza, seguendo un decadimento esponenziale.

Per trovare l'intensità totale integrata, il limite superiore infinito viene prima sostituito con una variabile, t.

La funzione di intensità viene quindi integrata da zero a t, e i limiti di integrazione vengono sostituiti per dare un'espressione che include un termine esponenziale.

L'ultimo passo è prendere il limite quando t tende all'infinito, dove il termine esponenziale tende a zero, lasciando un valore finito.

Questo conferma che l'intensità totale integrata — l'area sotto la curva — può rimanere finita anche con un dominio infinito.