Applicazioni dell’integrazione per determinare i centri di massa

Consideriamo una tavola bilanciata su un perno con due masse disuguali. Il sistema raggiunge l'equilibrio rotazionale quando la coppia netta è zero.

La coppia è la forza moltiplicata per la distanza dal perno. In equilibrio rotazionale, il perno è allineato con il centro di massa del sistema.

Per diverse masse discrete, il centro di massa è uguale alla somma dei momenti — definiti come massa moltiplicata per posizione — dovuti a ciascuna massa divisa per la massa totale.

Questo concetto si applica anche a un sistema continuo, come una sottile barra trattata come un oggetto unidimensionale con densità di massa lineare. Il centro di massa è dato dal rapporto tra il momento totale della barra e la sua massa totale.

Qui, la barra è trattata come composta da un numero infinito di piccoli elementi di massa. Ogni piccolo elemento ha una massa uguale alla densità lineare moltiplicata per una lunghezza minuscola.

Il momento di ciascun elemento è uguale alla sua distanza da una delle estremità dell'asta moltiplicata per la sua piccola massa.

Per calcolare il momento totale dell'asta, questi piccoli momenti elementali vengono sommati usando una somma di Riemann.

Quando la dimensione di questi piccol