Introduzione alle equazioni differenziali

Un'equazione differenziale è un'equazione che contiene una funzione sconosciuta e una o più delle sue derivate. L'ordine di un'equazione differenziale è dato dalla derivata di ordine più alto presente nell'equazione.

Quando l'equazione coinvolge solo la derivata di primo, si chiama primo ordine. Se coinvolge la derivata di secondo, si chiama secondo ordine, e così via.

Ad esempio, un sistema molla-massa può essere modellato come un semplice oscillatore armonico, che equipara la forza netta sulla massa e la forza di ripristino nella molla, descritta dalla legge di Hooke per le molle lineari.

La forza della molla agisce nella direzione opposta allo spostamento ed è proporzionale a quanto la massa si sposta dalla sua posizione di equilibrio.

La seconda legge di Newton collega la forza netta sulla massa alla sua accelerazione. Combinando queste due relazioni si ottiene un'equazione in cui massa moltiplicata per accelerazione è uguale a una costante negativa per spostamento.

Riscrivendo l'accelerazione come seconda derivata dello spostamento nel tempo, si ottiene un'equazione differenziale di secondo ordine.

Questa seconda derivata collega il moto del sistema a un'equazione differenziale.