Modellazione con equazioni differenziali

Modellare la crescita della popolazione con equazioni differenziali collega le ipotesi su come le popolazioni cambiano nel tempo. Assumendo risorse illimitate, il tasso di crescita della popolazione è proporzionale alla sua dimensione.

Traducendo questa assunzione in un'equazione, si ottiene un'equazione differenziale del primo ordine con soluzione esponenziale.

In realtà, risorse come cibo, acqua, alloggio ed energia sono finite, limitando la crescita della popolazione a una dimensione massima sostenibile chiamata capacità di carico M.

Se la popolazione è inferiore a M, le risorse sono sufficienti e la crescita avviene verso M. Se supera M, le carenze causano tassi di mortalità o migrazione più elevati, riducendo la popolazione.

Per modellare queste tendenze, si fanno due ipotesi: primo, per un valore P(t) piccolo, il tasso di crescita è proporzionale a P(t), e secondo, se P(t) supera M, la popolazione inizia a diminuire.

Combinando queste ipotesi si ottiene il modello di crescita logistica. Il tasso di crescita è proporzionale alla dimensione attuale della popolazione P(t) e alla differenza tra la capacità di carico M e P(t), che può essere espressa anche in modo generale.