Equazioni differenziali separabili

Un'equazione separabile è un'equazione differenziale del primo ordine che può essere suddivisa in due parti indipendenti—una contenente solo x e l'altra solo y.

I termini y sono posti da un lato e i termini x dall'altro, permettendo un'integrazione separata.

Ad esempio, considera una tazza di tè caldo che si raffredda in una stanza.

La velocità con cui il tè si raffredda è proporzionale alla differenza tra la sua temperatura e quella della stanza. Un segno negativo viene aggiunto alla costante di proporzionalità k per indicare che la temperatura diminuisce nel tempo.

L'equazione è separabile perché può essere riscritta con termini di temperatura da un lato e tempo dall'altro. Integrando entrambi i lati si ottiene un'equazione logaritmica con costante di integrazione.

Quando entrambi i lati sono esponenziali, emerge la soluzione generale, con una costante che può essere positiva, negativa o zero. La costante si trova sostituendo t uguale a zero e alla temperatura iniziale.

La differenza di temperatura diminuisce esponenzialmente, facendo raffreddare il tè rapidamente all'inizio e poi più lentamente nel tempo.