Analisi spaziotemporale dei campi termo-fotoelastici accoppiati in silicio rinforzato con fibre anisotropice utilizzando un metodo degli autovalori

Sommario

Questo studio analizza i campi termo-fotoelastici accoppiati nel silicio anisotropo rinforzato con fibre utilizzando un metodo della modalità normale e degli autovalori. I risultati mostrano un decadimento spaziale e un'evoluzione del campo dipendente dal tempo, con forte sensibilità all'anisotropia. Le mappe di calore illustrano la distribuzione e la localizzazione dei campi.

Abstract

Questo studio indaga un sistema termo-fotoelastico accoppiato in un mezzo semiconduttore di silicio rinforzato con fibre anisotrope, con l'obiettivo di catturare l'interazione tra campi termici, portatori e meccanici. Tali materiali anisotropi rinforzati con fibre svolgono un ruolo cruciale nelle applicazioni ingegneristiche moderne, inclusi dispositivi microelettronici e optoelettronici, tecnologie basate su laser, sensori e strutture composite avanzate, dove sono richieste proprietà direzionali e prestazioni meccaniche migliorate. Sono particolarmente importanti nella progettazione di componenti semiconduttori sottoposti a carichi termici e ottici, dove una previsione accurata del comportamento del campo accoppiato è essenziale per l'affidabilità e l'ottimizzazione delle prestazioni. Le equazioni di governo sono formulate sulla base del modello fisico accoppiato e successivamente trasformate in una forma adimensionale per semplificare l'analisi e evidenziare l'influenza relativa dei parametri coinvolti. Il problema viene risolto usando una tecnica di modalità normale e ridotto a un sistema differenziale vettoriale-matriciale del primo ordine, seguito da un approccio a autovalori per ottenere soluzioni analitiche che soddisfino le condizioni al contorno imposte all'interno di un dominio semi-infinito. L'analisi numerica viene effettuata per esaminare l'effetto della variazione temporale su tutti i campi fisici, rivelando una forte attenuazione spaziale e un comportamento accoppiato governato da anisotropia e rinforzo delle fibre. Le rappresentazioni di mappe di calore spaziotemporali sono utilizzate per visualizzare l'evoluzione e la localizzazione dei campi, fornendo una comprensione fisica delle interazioni multifisiche e dimostrando l'efficacia dell'approccio analitico.

Introduzione

La termo-fotoelasticità è emersa come un importante campo multidisciplinare che descrive l'interazione tra effetti termici, meccanici e ottici nei materiali semiconduttori sotto eccitazione fototermica. L'accoppiamento tra questi campi diventa particolarmente notevole nelle applicazioni moderne che coinvolgono il riscaldamento laser e l'eccitazione ottica. Ad esempio, Saeed¹ ha studiato le interazioni termo-fotoelastiche nei semiconduttori utilizzando modelli iperbolici a due temperature, dimostrando l'importanza degli effetti di rilassamento termico nella previsione accurata del comportamento del sistema. La risposta termomeccanica dei compositi rinforzati con fibre ha attirato notevole attenzione grazie alla loro maggiore resistenza meccanica e alle proprietà anisotrope. Li e Lambros² analizzarono il comportamento termomeccanico dinamico di tali compositi, evidenziandone l'idoneità per applicazioni ingegneristiche avanzate. Analogamente, Kalkal et ^al.3 hanno studiato deformazioni bidimensionali (2D) in mezzi rinforzati con fibre a rotazione funzionalmente gradati sotto campi magnetici, mostrando la forte influenza dell'anisotropia e degli effetti esterni sulla risposta del sistema. Inoltre, Pitarresi et ^al.4 hanno esaminato il ruolo dell'eterogeneità macroscopica nel comportamento termoelastico, sottolineando la necessità di una modellazione accurata dei materiali compositi. Gli sviluppi recenti hanno esteso questi studi a mezzi semiconduttori con effetti multifisici accoppiati. Mondal et ^al.5 hanno studiato la propagazione delle onde nei semiconduttori rinforzati considerando le risposte della memoria e i campi magnetici, rivelando interazioni accoppiate complesse. Studi sperimentali, come quelli di Akai et ^al.6, hanno valutato i danni da fatica in compositi rinforzati con fibre utilizzando variazioni termoelastiche di temperatura, confermandone l'importanza pratica. Inoltre, sono stati impiegati approcci micromeccanici per stimare le proprietà termoelastiche efficaci, come dimostrato da Lu et ^al.7. L'influenza del carico esterno e delle condizioni ambientali è stata ampiamente studiata. Barak e^{Dhankhar 8} hanno analizzato il carico inclinato in mezzi rinforzati con fibre a grado funzionale, mentre Kundu e^{Kalkal 9} hanno esaminato le interazioni fototermiche sotto gravità e carichi termici in movimento. Chaudhary et ^al.10 hanno studiato proprietà dipendenti dalla temperatura utilizzando modelli a doppia fase e lag, e Pandit et ^al.11 hanno applicato modelli di deformazione a ordine frazionario per catturare il comportamento di deformazione non locale. Questi studi evidenziano l'importanza di considerare condizioni realistiche di carico e materiali nell'analisi termoelastica.

Fenomeni dinamici e correlati alle vibrazioni sono stati inoltre esplorati nei sistemi semiconduttori. Song et ^al.12 studiarono le vibrazioni fototermiche nelle strutture semiconduttori, mentre Mondal e Sur¹³ analizzarono la propagazione d'onda in mezzi ortotropi con effetti di memoria. Gli effetti viscoelastici e microstrutturali sono stati considerati da Abouelregal et ^al.14, e gli effetti di riscaldamento a rampa sono stati studiati da Hobiny et ^al.15. Inoltre, modelli termoelastici generalizzati come la teoria del ritardo trifasique sono stati sviluppati da Zenkour¹⁶ per migliorare l'accuratezza delle previsioni. Modelli multifisici avanzati che incorporano effetti elettromagnetici e micropolari hanno ulteriormente migliorato la comprensione del comportamento termo-fotoelastico. Al-Hazaemh et ^al.17 hanno studiato l'eccitazione foto-elettro-magneto-termoelastica in mezzi semiconduttori rotanti, mentre Nazir e^{Kumar 18} hanno analizzato le interazioni termoelastiche micropolari. Song et ^al.19 hanno inoltre esaminato le interazioni termoelastiche non dissipative, e Nasr e^{Abouelregal 20} hanno studiato i processi di assorbimento della luce in semiconduttori con cavità. I modelli non locali e a ordine frazionario hanno svolto un ruolo cruciale negli sviluppi recenti. Gupta et ^al.21 hanno studiato l'eccitazione fototermica in mezzi porosi non locali, mentre Hobiny e^{Abbas 22} hanno analizzato la propagazione delle onde di ordine frazionario nei semiconduttori. Hafed e^{Zenkour 23} hanno indagato gli effetti del carico inclinato, mentre Oliinyk et ^al.24 hanno esaminato gli effetti termo-fotoelastici non stazionari. Il comportamento dei semiconduttori graduati funzionalmente sotto eccitazione laser è stato inoltre esplorato da Awwad et ^al.25, mentre Gupta et ^al.26 hanno studiato il coppiamento termo-piezo-fotoelettrico con modelli dipendenti dalla memoria. Approcci sperimentali classici che combinano tecniche termiche e ottiche sono stati sviluppati da Greene e Patterson²⁷ e Barone e^{Patterson 28}, fornendo metodi affidabili per l'analisi delle tensioni. Inoltre, Kaur e^{Singh 29} svilupparono modelli non locali dipendenti dalla memoria per i risonatori a semiconduttore, e Abbas et ^al.30 analizzarono le interazioni fototermiche con conduttività termica variabile. Indagini sperimentali e numeriche sulle membrane composite rinforzate sono state condotte da Lu et ^al.31, mentre Purkait e Kanori³² hanno studiato le risposte di memoria in mezzi rinforzati a fibre rotanti. Abo-Dahab et ^al.33 hanno ulteriormente esaminato la riflessione delle onde in mezzi termoelastici rinforzati con fibre sotto condizioni di carico. Più recentemente, sono stati proposti modelli termoelastici avanzati frazionari e non locali per descrivere materiali complessi. Abouelregal et ^al.34 hanno studiato le risposte termiche nei tessuti biologici utilizzando modelli frazionari, mentre Selvamani et ^al.35,36 hanno studiato la propagazione delle onde non locali e il comportamento delle vibrazioni nei nanobeam. Inoltre, modelli di ritardo a doppia fase e viscoelastici sono stati applicati alle microstrutture da Abouelregal et ^al.37, e formulazioni termoelastiche frazionate con kernel di memoria^{sono state sviluppate 38,39} per catturare fenomeni accoppiati complessi.

Nonostante questi sviluppi estesi, la maggior parte degli studi esistenti si concentra principalmente su soluzioni analitiche o numeriche senza fornire una visualizzazione spaziotemporale dettagliata dei campi fisici. In molte applicazioni pratiche, specialmente nei mezzi semiconduttori anisotropi rinforzati con fibre, la risposta del sistema dipende fortemente sia dalle variazioni spaziali che temporali, rendendo la visualizzazione essenziale per un'interpretazione accurata. Inoltre, sebbene gli approcci numerici e sperimentali forniscano preziose informazioni, i metodi analitici basati su tecniche di modalità normale e autovalori offrono vantaggi significativi in problemi che coinvolgono domini semi-infiniti e sistemi multifisici accoppiati. Questi approcci permettono soluzioni in forma chiusa, fornendo una comprensione fisica più profonda dei meccanismi di propagazione, attenuazione e accoppiamento delle onde, e fungono da benchmark affidabili per la validazione di risultati numerici e sperimentali.

Nel presente lavoro viene presentata un'indagine approfondita sul comportamento termo-fotoelastico accoppiato in un mezzo semiconduttore anisotropico rinforzato con fibre. La novità di questo studio risiede nell'integrazione di un approccio analitico basato sui valori propri con la visualizzazione della mappa di calore spaziotemporale per fornire una comprensione più approfondita dell'evoluzione e localizzazione dei campi fisici. L'obiettivo di questo lavoro è analizzare l'influenza dell'anisotropia e del rinforzo delle fibre sull'interazione tra campi termici, meccanici e portatori, e dimostrare l'applicabilità del metodo proposto nell'interpretazione di fenomeni multifisici complessi rilevanti per applicazioni ingegneristiche moderne come dispositivi semiconduttori, sensori e tecnologie basate su laser.

Protocollo

Questo studio si basa interamente su modellazione teorica e simulazioni numeriche e non coinvolge partecipanti umani, soggetti animali o campioni biologici. Pertanto, non erano necessarie approvazioni etiche e consenso informato.

Formulazione matematica della foto-termoelasticità in mezzi anisotropi rinforzati con fibre
Il presente studio ha considerato un semi-spazio semiconduttore anisotropo 2D rinforzato con fibre sottoposto a eccitazione ottica superficiale. Il mezzo occupava la regione x ≥ 0, dove il bordo a x = 0 rappresenta la superficie esposta. Il sistema di coordinate era definito in modo che l'asse x si estendesse nel mezzo, mentre l'asse y si estendesse lungo la superficie e descrivesse il comportamento in piano. Si presumeva che il materiale fosse omogeneo ma anisotropo a causa della presenza di fibre di rinforzo allineate, che introdussero dipendenza direzionale nelle proprietà elastiche e di accoppiamento. L'assorbimento ottico in superficie generava riscaldamento localizzato e portatori di carica in eccesso, portando a un'interazione completamente accoppiata tra campi termici, meccanici e portatori. Di conseguenza, lo stato del sistema era descritto dalla temperatura θ(x, y, t) (K), dalla densità portante N (x, y, t) (^m-3) e dalle componenti di spostamento u (x, y, t) e v (x, y, t)(m), assumendo piccole deformazioni. Uno schema del dominio fisico, del sistema di coordinate, dell'orientamento della fibra e dell'eccitazione ottica applicata è illustrato nella Figura 1. Tutti i calcoli simbolici e numerici sono stati eseguiti utilizzando Wolfram Mathematica (Versione 12.0).

Figura 1. Rappresentazione schematica del mezzo semi-infinito a semiconduttore rinforzato con fibre sottoposto a eccitazione ottica al bordo x = 0. Il sistema di coordinate (x, y) è mostrato, con l'orientamento della fibra allineato lungo la direzione x (a = (1, 0)), illustrando la configurazione geometrica e l'anisotropia dipendente dalla direzione del mezzo. Clicca qui per visualizzare una versione più grande di questa figura.

La relazione costitutiva per il tensore di stress in un mezzo semiconduttore termoelastico anisotropo rinforzato con fibre è stata espressa in forma generale usando l'Equazione 1 ^1,5. In questa formulazione, θ indica l'incremento di temperatura rispetto alla temperatura di riferimento T₀, mentre T rappresenta la temperatura assoluta dove applicabile.

.   (1)

Qui, C_ijkl sono i coefficienti di rigidità elastica, e_kl è il tensore di deformazione, e β_ij e η_ij rappresentano rispettivamente i tensori di accoppiamento termoelastico e di portante. In presenza di rinforzo a fibre, la risposta del materiale diventava dipendente dalla direzione ed era governata dal vettore di orientamento della fibra a = (a_i), che introduceva contributi anisotropi sia nei termini elastici che in quelli di accoppiamento. Di conseguenza, la relazione costitutiva è stata ampliata per incorporare esplicitamente l'effetto del rinforzo della fibra come ^2,3:

. (2)

Qui, λ e _{μ τ} sono le costanti di Lamé, e μ_L è il modulo di taglio longitudinale lungo la direzione della fibra. Il parametro α rappresenta gli effetti di rinforzo delle fibre ed è distinto da α_ij, che indicano i coefficienti di espansione termica. Il vettore unitario definiva l'orientamento della fibra e introduceva una dipendenza direzionale nella risposta sforzo-deformazione. Per la presente formulazione 2D, si presumeva che le fibre fossero allineate lungo l'asse x; Pertanto, il vettore di orientamento è stato esplicitamente preso come A = (1, 0). Questa specifica forniva una chiara parametrizzazione della direzione della fibra e garantiva che i contributi anisotropici fossero coerenti incorporati nelle equazioni governanti, affrontando direttamente il comportamento direzionale indotto dal rinforzo della fibra. Per l'attuale configurazione 2D, le componenti governanti delle tensioni si ridussero a:

, (3)

, (4)

. (5)

Queste equazioni illustrano l'influenza combinata dell'anisotropia, del rinforzo delle fibre e degli effetti di accoppiamento multifisico. I coefficienti β_ij e η_ij sono stati definiti in termini dei parametri materiali come segue:

,

,

,

.

Qui, i coefficienti A_ij rappresentano le costanti elastiche effettive del mezzo anisotropo rinforzato con fibre e sono stati definiti come segue:

. (6)

Qui, λ, μ_L e μ_T sono le costanti elastiche del mezzo anisotropico rinforzato con fibre, mentre α_ij e ξ_ij rappresentano rispettivamente i coefficienti di espansione termico e dei portatori. La propagazione delle onde elastiche nei mezzi semiconduttori termo-fotoelastici era regolata dal principio di conservazione del momento lineare, che costituiva la base dell'analisi termoelastica dinamica. In assenza di forze corporee, l'equazione generale del moto per un continuo deformabile è espressa come segue basandosi su ^1,15:

. (7)

Qui, ρ è la densità di massa e σ_ij è il tensore di sforzo. Nel presente studio, la formulazione era limitata a una configurazione 2D nel piano x - y , e il campo di spostamento era rappresentato da u(x, y, t) e v(x, y, t). Seguendo le formulazioni standard nei mezzi termo-fotoelastici, le equazioni governanti del moto in due dimensioni furono scritte come segue:

, (8)

. (9)

Sostituendo le relazioni costitutive anisotrope rinforzate con fibre nelle equazioni sopra, il sistema accoppiato risultante di equazioni differenziali parziali (DE) è stato ottenuto come segue:

, (10)

. (11)

Qui, i pedici indicano la derivazione parziale rispetto alle variabili spaziali e temporali. Queste equazioni evidenziano l'influenza accoppiata dell'anisotropia, del rinforzo delle fibre, dei gradienti di temperatura e della diffusione dei portatori sulla risposta dinamica del mezzo. In presenza di eccitazione ottica, il campo termico all'interno del semiconduttore era fortemente influenzato dall'interazione con la densità dei portatori e dalla deformazione meccanica, risultando in un processo di trasporto energetico completamente accoppiato. A differenza della conduzione termica classica, l'evoluzione della temperatura in tali mezzi era governata da termini sorgenti aggiuntivi derivanti dalla ricombinazione dei portatori e dagli effetti termoelastici, che alteravano significativamente le caratteristiche di propagazione del calore. L'equazione di conduzione del calore nel quadro della termoelasticità generalizzata è stata espressa come^{segue: 16,20}:

. (12)

Qui, C_E è il calore specifico a deformazione costante, che rappresenta la capacità termica del materiale, e T₀ indica la temperatura assoluta di riferimento del mezzo nel suo stato di equilibrio. Per l'attuale configurazione 2D, questa equazione si ridusse a^16,20:

. (13)

Questa equazione dimostra che il campo di temperatura era influenzato non solo dalla conducibilità termica direzionale ma anche dalla ricombinazione dei portatori attraverso il termine , così come dalla deformazione dipendente dal tempo tramite i termini di accoppiamento termoelastico. Questa formulazione ha catturato le interazioni multifisiche essenziali che governano il trasferimento di calore nel semiconduttore anisotropo rinforzato con fibre e ha evidenziato il ruolo sia della dinamica dei portatori sia della risposta meccanica nella modifica del comportamento termico del sistema. Quando un mezzo semiconduttore veniva sottoposto a eccitazione ottica, veniva generato un numero significativo di portatori di carica a causa dell'assorbimento della radiazione incidente. Questi portatori subivano processi di trasporto che includevano diffusione spaziale, ricombinazione e generazione termica, tutti intrinsecamente legati al campo di temperatura all'interno del materiale. Di conseguenza, la densità dei portatori divenne una delle variabili chiave che governano la risposta termo-fotoelastica accoppiata.

Nella formulazione attuale, l'evoluzione della concentrazione dei portatori è stata descritta attraverso un equilibrio tra meccanismi di diffusione, effetti di decadimento e processi di attivazione termica, portando alla seguente relazione^{governante 1,5}"

. (14)

Qui, D_E rappresenta il coefficiente di diffusione del portante ed è l'operatore laplaciano 2D nel piano x - y. Il termine tiene conto degli effetti di ricombinazione con tempo di rilassamento τ, mentre k è il coefficiente di accoppiamento termo-portatore definito come , che caratterizza la sensibilità della concentrazione di portatori di equilibrio N₀ alle variazioni di temperatura. Questa relazione evidenzia il ruolo della temperatura come meccanismo motore per la generazione dei portatori e stabilisce un accoppiamento diretto tra i campi termico ed elettronico nel mezzo semiconduttore anisotropo rinforzato con fibre.

Le equazioni governanti e la formulazione matematica del sistema portatore fototermoelastico accoppiato sono state stabilite. I parametri fisici e materiali corrispondenti al mezzo al silicio (Si) sono riassunti nella Tabella 1, insieme ai loro valori numerici, unità e riferimenti corrispondenti. Questi parametri vengono successivamente utilizzati nei calcoli numerici e nel processo di non dimensionalizzazione.

Simbolo	Valore	Unità	Riferimento
λ	3,64 × 10¹⁰	N/m²	12
μT	5,46 × 10¹⁰	N/m²	12
μL	3,20 × 10¹⁰	N/m²	12
ρ	2330	kg/m³	13
CE	695	J/(kg· K)	30
K11	0,0921 × 10³	W/(m·K)	30
K22	0,0963 × 10³	W/(m·K)	30
DE	2.5 × 10⁻³	m²/s	22
τ	5 × 10⁻⁵	s	15
T₀	300	K	15
Eg	1.11 × 10⁻¹⁹	J	12
11 α	3.1 × 10⁻⁶	K⁻¹	30
22 α	3.5 × 10⁻⁶	K⁻¹	30
ξ11	−7 × 10⁻³¹	m³	21
ξ22	−9 × 10⁻³¹	m³	21
κ	2.16 × 10²¹	m⁻³·s⁻¹· K⁻¹	21
α	−1,28 × 10¹⁰	N/m²	28
β	220,90 × 10¹⁰	N/m²	28
ω	2,95 + 1i	s⁻¹	12
a	1	— (senza dimensioni)	13
y	0.6	m	13
θ₀	1	— (senza dimensioni)	15
N₀	1	— (senza dimensioni)	15

Tabella 1. Proprietà e parametri del materiale utilizzati nell'analisi numerica del mezzo semiconduttore anisotropo rinforzato con fibre. Tutte le quantità sono espresse in unità SI, salvo diversa specificazione. I parametri adimensionali sono indicati di conseguenza. I valori elencati corrispondono alle proprietà dei materiali a base di silicio e ai parametri del modello impiegati nei calcoli presenti, come ottenuto dalle fonti citate. Il coefficiente di accoppiamento termo-portatore κ è definito come κ = (∂N₀/∂T)(1/τ), seguendo le formulazioni standard nei modelli di semiconduttori termo-fotoelastici.

Formulazione non dimensionale del modello foto-termoelastico anisotropico accoppiato
Per semplificare le equazioni governanti e ottenere una rappresentazione non dimensionale coerente del sistema termo-fotoelastico accoppiato, sono state introdotte scale caratteristiche appropriate per le coordinate spaziali x, y, tempo t, componenti di spostamento u, v, temperatura T, densità di portanti N e tensioni σ. Questi parametri di scala sono stati selezionati in modo coerente in base alle proprietà fisiche intrinseche del mezzo e ai meccanismi di accoppiamento tra campi termico, meccanico e portante, seguendo formulazioni consolidate riportate nella^{letteratura 16,21}. Di conseguenza, le variabili adimensionali furono definite come segue:

, , , , , , , , , .

Questa trasformazione ridusse il numero di parametri indipendenti del materiale e forniva una rappresentazione normalizzata del sistema accoppiato. Sostituendo le variabili adimensionali sopra nelle equazioni governanti precedentemente derivate, il sistema fu riscritto in forma non dimensionale. Per semplicità, la notazione prima associata alle variabili adimensionali è stata successivamente omessa. Questa procedura ha prodotto un insieme compatto di DE parziali adimensionali, che possono essere scritti nella seguente forma:

, (15)

, (16)

, (17)

. (18)

Dopo l'applicazione della trasformazione non dimensionale, le componenti di stress del sistema furono scritte nella seguente forma normalizzata:

, (19)

, (20)

. (21)

I parametri adimensionali a_i sono stati introdotti per rappresentare combinazioni compatte delle proprietà fisiche e materiali che governano il comportamento anisotropico accoppiato foto-termoelastico. Ogni coefficiente rifletteva un meccanismo di interazione specifico all'interno del sistema e forniva una comprensione dell'influenza relativa dei processi fisici sottostanti. rappresenta il rapporto tra la rigidità normale dell'accoppiamento e la rigidità elastica principale, riflettendo il grado di interazione anisotropa tra i due componenti di spostamento. caratterizza il contributo relativo della deformazione trasversale alla componente normale delle tensioni. misura la variazione direzionale dell'accoppiamento termoelastico, indicando l'anisotropia negli effetti di espansione termica. descrive l'influenza anisotropa della densità dei portatori sulla deformazione elastica indotta. rappresenta la rigidità di taglio normalizzata e quantifica il contributo della deformazione di taglio rispetto alla deformazione normale. tiene conto dell'accoppiamento combinato tra deformazione normale e di taglio nelle equazioni di spostamento governanti. esprime il rapporto tra rigidità trasversale e rigidità da taglio, evidenziando il comportamento di deformazione anisotropica. rappresenta il parametro inerziale normalizzato, collegando gli effetti di propagazione delle onde alla rigidità da taglio. caratterizza l'accoppiamento tra gradienti di spostamento in diverse direzioni spaziali. quantifica il contributo relativo degli effetti termici al campo di spostamento nella direzione trasversale. misura l'effetto della deformazione indotta da portatori rispetto alla rigidità da taglio. : rappresenta l'anisotropia nella conducibilità termica lungo diverse direzioni spaziali. caratterizza l'influenza della ricombinazione dei portatori sulla generazione di calore all'interno del mezzo. rappresenta l'accoppiamento tra effetti termici e deformazione elastica dipendente dal tempo. spiega l'influenza combinata dell'espansione termica anisotropa in entrambe le direzioni spaziali. rappresenta il parametro di diffusione normalizzato che controlla la velocità di trasporto del portatore. caratterizza la forza relativa degli effetti di ricombinazione dei portatori. descrive l'accoppiamento tra variazioni termiche e processi di generazione dei portatori.

Soluzione analitica usando la tecnica della modalità normale
Per ottenere soluzioni analitiche per il sistema termo-fotoelastico anisotropico accoppiato, è stata impiegata la tecnica della modalità normale grazie alla sua efficacia nel ridurre le DE parziali governanti in un sistema di DE ordinari più trattabile. Questo approccio è ampiamente utilizzato nell'analisi dei fenomeni di propagazione delle onde, inclusi dispersione e attenuazione. Di conseguenza, si presumevano variazioni armoniche delle variabili di campo sia nel tempo che nella direzione spaziale^{trasversale 1,12,23}. Pertanto, le componenti di spostamento, la temperatura, la densità dei portatori e le tensioni sono state espresse in forma esponenziale come segue:

. (22)

Qui, ω indica la frequenza complessa che governa il comportamento temporale dei campi, mentre a rappresenta il numero d'onda associato alla variazione spaziale lungo la direzione y. Questi parametri sono stati selezionati per soddisfare i requisiti di stabilità e garantire soluzioni limitate fisicamente ammissibili all'interno del dominio semi-infinito. Sostituendo le forme sopra assunte nelle equazioni governanti non dimensionali precedentemente derivate e semplificando le espressioni risultanti, il sistema accoppiato originale di DE parziali è stato ridotto a un sistema di DE ordinarie rispetto alla coordinata spaziale , che può essere scritta come segue:

, (23)

, (24)

, (25)

. (26)

Inoltre, le corrispondenti componenti di stress nel dominio trasformato sono state scritte come segue:

, (27)

, (28)

. (29)

Qui, D indica l'operatore differenziale . Queste equazioni rappresentano la forma ridotta del sistema di governo nel dominio delle modalità normali e forniscono la base per derivare l'equazione caratteristica e costruire la soluzione analitica generale nei passaggi successivi. I coefficienti erano definiti come segue: , , , , , , , , , , , .

Formulazione matriciale delle DE e analisi degli autovalori
Dopo l'applicazione della trasformazione dei modi normali, il sistema di governo dato nelle Equazioni 23–26 è stato ridotto a un insieme di DE ordinarie di secondo ordine rispetto alla coordinata spaziale . Per facilitare una soluzione sistematica, questo sistema fu convertito in un sistema equivalente del primo ordine introducendo variabili ausiliarie corrispondenti alle prime derivate delle grandità di campo. In particolare, sono state definite le seguenti variabili:

, . (30)

Utilizzando queste definizioni, le Equazioni 23–26 furono riscritte come il seguente sistema di otto DE di primo ordine:

, (31)

, (32)

, (33)

, (34)

. (35)

Il sistema sopra è stato espresso in forma compatta di matrice A come segue:

. (36)

Il vettore di stato era dato come segue:

. (37)

e la matrice del sistema assumeva la forma esplicita:

. (38)

Questa formulazione trasformò il sistema originale in un problema di^{autovalori 1,15}. L'equazione caratteristica è stata ottenuta da

. (39)

che produce un polinomio di ottavo ordine che governa gli autovalori. In una forma ridotta, il polinomio caratteristico può essere scritto come

. (40)

dove Z_i i i sono funzioni dei parametri del sistema e sono definiti esplicitamente di seguito. Gli autovalori risultanti determinano il comportamento spaziale della soluzione, incluse le caratteristiche di attenuazione e propagazione. Solo gli autovalori che soddisfano Re(m) > 0 sono mantenuti per garantire soluzioni fisicamente ammissibili che decadono esponenzialmente come x → ∞.

. (41)

Le radici del polinomio caratteristico definiscono gli autovalori m, che governano il comportamento spaziale della soluzione. Questi autovalori sono stati calcolati numericamente usando Mathematica costruendo il polinomio caratteristico tramite la funzione CharacteristicPolynomial e risolvendo l'equazione algebrica risultante usando NSolve. Poiché il problema è formulato in un dominio semi-infinito (x ≥ 0), vengono considerate solo soluzioni fisicamente ammissibili che rimangono limitate come x → ∞. Di conseguenza, sono stati mantenuti solo autovalori che soddisfano Re(m) > 0, garantendo soluzioni esponenzialmente decadite della forma exp(−mx) come x → ∞. Le radici rimanenti sono state scartate poiché corrispondono a soluzioni non decadenti o non limitate che non sono coerenti con i requisiti fisici del modello.

Per ogni autovalore trattenuto m, il corrispondente autovettore è stato ottenuto dal sistema algebrico associato

, (42)

ed era espresso nella seguente forma:

. (43)

Espandendo l'equazione matriciale sopra, è stato ottenuto il seguente sistema di equazioni lineari:

, (44)

, (45)

, (46)

, (47)

. (48)

A causa dell'omogeneità del problema degli autovalori, i vettori propri sono stati definiti fino a una costante moltiplicativa arbitraria. Per ottenere una rappresentazione unica e coerente, veniva imposta una condizione di normalizzazione fissando una componente dell'autovettore. Nel presente lavoro, la prima componente è stata selezionata in modo che q₁ = 1, e le restanti componenti siano state determinate in sequenza dal sistema di equazioni sopra descritto. Da un punto di vista computazionale, questa normalizzazione è stata implementata assegnando un valore unitario a una componente e risolvendo il sistema risultante di equazioni lineari per valutare le componenti rimanenti. Questa procedura forniva un modo sistematico e riproducibile per calcolare gli autovettori associati a ciascun autovalore ammissibile.

. (49)

E i restanti componenti derivano di conseguenza dalle relazioni di sistema. Questi autovettori descrivono i contributi relativi di temperatura, densità di portatori e campi di spostamento all'interno di ciascuna modalità. Di conseguenza, la soluzione generale del problema è stata costruita come una combinazione lineare delle automodalità ammissibili, ciascuna associata a un autovalore e al suo corrispondente autovettore, fornendo così una descrizione analitica completa del comportamento foto-termoelastico anisotropo accoppiato nel mezzo a semispazio. La soluzione generale del sistema fu quindi scritta come segue:

. (50)

Qui, C_i sono costanti determinate dalle condizioni al contorno. Espandendo l'espressione vettoriale sopra, le variabili di campo sono state ottenute come segue:

, (51)

, (52)

, (53)

. (54)

Questa rappresentazione mostra che la soluzione consiste in una sovrapposizione di modi esponenziali, dove ogni coppia autovalore-autovettore contribuisce indipendentemente alla risposta fisica complessiva. Gli autovalori ammissibili sono selezionati in modo che le loro parti reali siano positive, garantendo soluzioni limitate e fisicamente significative come x → ∞.

Condizioni al contorno e vincoli fisici
Sostituendo la soluzione generale nelle condizioni al contorno prescritte a x = 0, si otteneva un sistema di equazioni algebriche lineari in termini delle costanti C_i. In particolare, ogni condizione al contorno (temperatura, densità di portanti e vincoli di spostamento) veniva espressa in termini di espansione automodale, risultando in un insieme di equazioni che collegano i coefficienti C_i. Questa procedura portò a un sistema lineare che può essere scritto in forma matriciale come BC = D, dove B è la matrice dei coefficienti costruita dalle componenti degli autovettori valutati al bordo, C = (C₁, C₂, C_{3,C 4})^T è il vettore delle costanti sconosciute, ed è determinato dai valori al contorno imposti come θ₀, N₀, e i vincoli di spostamento. Il sistema lineare risultante fu risolto computazionalmente usando Mathematica, dove la matrice dei coefficienti e il vettore del lato destro furono assemblati esplicitamente, e le costanti sconosciute furono ottenute usando la routine LinearSolve. Queste costanti venivano poi sostituite nuovamente nella soluzione generale per costruire le espressioni complete dei campi fisici, che furono successivamente utilizzate nella valutazione numerica e nella rappresentazione grafica dei risultati.

Le condizioni al contorno imposte furono indicate come segue:

Vincolo di temperatura:

. (55)

Questa condizione rappresenta una temperatura superficiale armonicamente variabile indotta da un riscaldamento ottico periodico. Agisce come principale eccitazione termica che guida i processi termoelastici accoppiati e di trasporto dei portatori all'interno del mezzo. L'ampiezza θ₀ caratterizza l'intensità del carico termico applicato.

Vincolo di densità di portante:

. (56)

Questa condizione al contorno descrive la densità di portanti fotogenerata risultante dall'illuminazione ottica. Riflette l'eccitazione elettronica dovuta all'assorbimento dei fotoni e alla sua modulazione armonica coerente con il campo ottico incidente.

Vincolo di spostamento:

. (57)

Questa condizione indica che il confine è vincolato meccanicamente nella direzione trasversale. Pertanto, non si verifica uno spostamento lungo la direzione V sulla superficie.

Vincolo di sforzo di taglio (hot):

. (58)

Questa condizione corrisponde a un bordo privo di trazione rispetto allo sforzo di taglio. Garantisce che nessuna forza tangenziale agisca sulla superficie, il che è coerente con un bordo meccanicamente libero nella direzione tangenziale. Oltre alle condizioni al contorno a x = 0, il requisito fisico all'infinito era imposto come: garantire soluzioni fisiche limitate all'interno del dominio semi-infinito. Prima di presentare i risultati numerici, la procedura computazionale complessiva adottata in questo studio è riassunta nella Figura 2. I valori numerici dei parametri di eccitazione θ₀, N₀, frequenza complessa ω e numero d'onda a utilizzati nei calcoli sono elencati nella Tabella 1. I parametri elencati nella Tabella 1 includono sia le costanti materiali dimensionali che i parametri non dimensionali utilizzati nella formulazione normalizzata. Per la valutazione numerica, il dominio spaziale fu definito come , la coordinata trasversale fu fissata a y = 0,6, e il dominio temporale fu considerato all'interno di . Questi intervalli venivano utilizzati per tutti i calcoli numerici e le rappresentazioni grafiche.

Figura 2. Flusso di lavoro computazionale del metodo proposto. La figura illustra la sequenza di passaggi dalla formulazione ai risultati numerici: equazioni governanti, non dimensionalizzazione, applicazione della tecnica della modalità normale, conversione a un sistema di primo ordine, formulazione matriciale, analisi degli autovalori e autovettori, applicazione delle condizioni al contorno, determinazione delle costanti e generazione di grafici numerici. Clicca qui per visualizzare una versione più grande di questa figura.

Risultati

Risultati numerici
In questa sezione sono stati effettuati calcoli numerici per analizzare il comportamento del sistema termo-fotoelastico accoppiato in un mezzo semiconduttore anisotropico rinforzato con fibre. Il materiale considerato era il silicio (Si), e i suoi parametri fisici e materiali sono elencati nella Tabella 1. Queste costanti materiali venivano direttamente sostituite nelle equazioni governanti e implementate nei calcoli numerici per va...

Discussione

I risultati ottenuti forniscono una chiara comprensione fisica del comportamento termo-fotoelastico accoppiato nei mezzi semiconduttori anisotropi rinforzati con fibre. Il presente studio propone un quadro analitico basato sui valori propri per indagare l'interazione tra carico termico, generazione di portatori e deformazione elastica in tali medi. La risposta osservata è fondamentalmente governata dal forte accoppiamento tra questi processi fisici. L'assorbimento dell'energia ottica al ...

Materiali

Elenco dei materiali utilizzati in questo articolo

Nome	Azienda	Numero di catalogo	Commenti
Software computazionale (analisi simbolica e numerica)	Ricerca Wolfram	Fu utilizzata Wolfram Mathematica (Versione 12.0)	Utilizzato per il calcolo degli autovalori, l'implementazione di soluzioni analitiche e la valutazione numerica
Strumenti di visualizzazione dei dati (generazione di contorni e heatmap)	Ricerca Wolfram	Wolfram Mathematica (Versione 12.0) è stato utilizzato per generare diagrammi di contorni 2D e heatmap spaziotemporali	Utilizzato per generare diagrammi di contorni 2D e heatmap spaziotemporali
Dataset dei parametri del materiale (proprietà dei semiconduttori al silicio)	Varie fonti letterarie	N/A	Costanti fisiche (elastiche, termiche, correlate ai portanti) utilizzate nei calcoli (Tabella 1)
Personal computer/workstation	HP	N/A	I calcoli venivano eseguiti su un computer personale standard con Windows OS con memoria sufficiente per simulazioni numeriche
Editor di equazioni	Microsoft  Word e MathType	N/A	Utilizzato per la formattazione e la presentazione delle espressioni matematiche nel manoscritto
Software per la gestione dei riferimenti	Elsevier	N/A	Utilizzato per gestire i riferimenti e formattare le citazioni (stile Vancouver)