Effetti rotazionali sulla propagazione delle onde magneto-foto-termoelastiche in uno spazio semiconduttore anisotropo rinforzato con fibre sotto eccitazione ottica

Sommario

Presentiamo un modello analitico per indagare la propagazione di onde magneto-foto-termoelastiche rotanti in semiconduttori anisotropi rinforzati con fibre sotto eccitazione ottica. Il metodo può essere utilizzato per analizzare temperatura, densità di portatori, spostamento e distribuzioni di stress in materiali semiconduttori avanzati.

Abstract

Questo studio indaga il comportamento magneto-foto-termoelastico rotante accoppiato di uno spazio semiconduttore anisotropo rinforzato con fibre sottoposto a eccitazione ottica e a un campo magnetico applicato. Le equazioni di governo, che incorporano effetti termici, elastici, di densità di portanti, elettromagnetici e rotazionali, sono formulate all'interno di un quadro multifisico unificato. Il metodo della modalità normale viene impiegato per trasformare le equazioni differenziali parziali accoppiate in un sistema di equazioni differenziali ordinarie, che viene successivamente riscritto come un sistema differenziale matriciale del primo ordine. Viene quindi sviluppata una formulazione basata sugli autovalori per costruire la soluzione analitica del problema accoppiato. Il problema degli autovalori risultante, il sistema a condizione di confine e le quantità di campo vengono valutati numericamente. Vengono presentati risultati numerici per la temperatura, la densità dei portanti, le componenti di spostamento e le distribuzioni di stress per esaminare gli effetti del parametro di rotazione e dell'intensità del campo magnetico sui campi fisici accoppiati. I risultati dimostrano l'importante ruolo delle interazioni rotazionali ed elettromagnetiche nella modifica della propagazione delle onde, delle caratteristiche di attenuazione e delle distribuzioni di campo all'interno del mezzo semiconduttore anisotropo. Sono stati effettuati calcoli numerici per un mezzo semiconduttore a base di silicio.

Introduzione

La fototermoelasticità è diventata un ambito attivo di ricerca grazie alla sua capacità di descrivere le interazioni accoppiate tra campi termici, meccanici, ottici e di densità di portanti in materiali semiconduttori sottoposti a irradiazioni laser ed eccitazione fototermica. Questi fenomeni accoppiati svolgono un ruolo importante nei moderni dispositivi optoelettronici, nelle tecnologie dei semiconduttori, nei sistemi di elaborazione laser e nelle applicazioni microelettroniche. Saeed et ^al.1 hanno studiato la propagazione d'onda in solidi semiconduttori con proprietà dipendenti dalla temperatura, mentre Abbas et ^al.2 hanno esaminato le interazioni fototermiche in semiconduttori contenenti cavità cilindriche e conducibilità termica variabile. Successivamente, Ihtisham Ullah et ^al.3 hanno analizzato l'influenza della conduttività termica variabile e degli impulsi laser sulle onde elastiche riflesse nei mezzi semiconduttori. Inoltre, Yadav⁴ ha studiato la propagazione delle onde di plasma magneto-fototermiche in semiconduttori a diffusione sotto un quadro termoelastico a due temperature a lag multifase. Più recentemente, Lute et ^al.5 e Lute et ^al.6 hanno sviluppato modelli avanzati di semiconduttori foto-termoelastici che incorporano generazione di calore fototermico, effetti di memoria e interazioni non locali, mentre Alaofi ed El-Dali⁷ hanno proposto una formulazione foto-termo-igroelastica multifisica per materiali semiconduttori. Inoltre, diversi modelli fototermoelastici generalizzati basati su teorie di ritardo di fase e formulazioni non locali sono stati riportati come miglioranti nella descrizione dei fenomeni di trasporto termico accoppiato e di portanti nei^{semiconduttori} 8,9,10,11.

La crescente domanda di strutture ingegneristiche leggere e ad alte prestazioni ha stimolato ricerche approfondite su materiali anisotropi e rinforzati con fibre. Grazie alle loro superiori caratteristiche meccaniche e alla maggiore resistenza termica, i compositi rinforzati con fibre sono stati ampiamente impiegati in applicazioni aerospaziali, civili ed elettroniche. Khan et ^al.12 svilupparono un modello termoelastico micropolare unificato per compositi rinforzati con fibre dipendenti dalla temperatura e dimostrarono l'influenza significativa dei parametri microstrutturali sulle caratteristiche di propagazione delle onde. Pitarresi et ^al.13 hanno studiato la risposta termoelastica delle plastiche rinforzate con fibre e hanno evidenziato il ruolo dell'eterogeneità dei materiali nelle distribuzioni delle sollecitazioni termiche. Escalante-Solís et ^al.14 hanno esaminato l'effetto della curvatura delle fibre sul comportamento micromeccanico dei compositi rinforzati, mentre Abo-Dahab et ^al.15 hanno studiato fenomeni di riflessione d'onda in mezzi termoelastici rinforzati con fibre. Più recentemente, Purkait e^{Kanoria 16} hanno analizzato un mezzo magneto-termoelastico rinforzato con fibre rotanti sottoposto a eccitazione laser pulsata, mentre Akai et ^al.17 e Quinlan et ^al.18 hanno studiato risposte termoelastiche in strutture composite rinforzate con fibre sotto diverse condizioni di carico. Questi studi hanno confermato che le caratteristiche di rinforzo e l'anisotropia influenzano sostanzialmente il trasporto termico, le concentrazioni di stress e il comportamento di propagazione delle onde. Tuttavia, la maggior parte delle indagini disponibili era dedicata ai materiali compositi termoelastici e non teneva conto simultaneamente dell'accoppiamento fototermoelastico dei semiconduttori con i meccanismi di trasporto dei portatori.

L'interazione tra campi magnetici e mezzi semiconduttori termoelastici ha attirato notevole attenzione per la sua importanza nei dispositivi elettromagnetici e nei materiali conduttori. Yadav¹⁹ ha studiato la riflessione d'onda in uno spazio magneto-termoelastico ortotropo rotante con effetti di diffusione, mentre Selvamani et ^al.20 hanno studiato la propagazione delle onde magnetoelastiche in nanofasci frazionari non locali. Abouelregal et ^al.21 hanno esaminato la stimolazione termomagnetica laser accoppiata in strutture porose magnetizzate con effetti dipendenti dalla memoria, mentre Chandel et ^al.22 hanno proposto un quadro magneto-termoelastico non locale basato sulla conduzione termica di Moore-Gibson-Thompson. Nel contesto dei semiconduttori,^{Abouelregal 23} sviluppò un modello fototermoelastico frazionario modificato per uno spazio semiconduttore rotante sottoposto a un campo magnetico, e Sur²⁴ studiò le interazioni magneto-foto-termoelastiche in mezzi che mostravano caratteristiche ereditarie. Più recentemente, Saidi et ^al.25 e Rashid et ^al.26 hanno analizzato le perturbazioni magneto-foto-termoelastiche in mezzi semiconduttori rotanti generalizzati e hanno dimostrato l'influenza significativa dell'intensità magnetica sulla propagazione delle onde accoppiate. Osservazioni simili sono state riportate nei modelli avanzati foto-termo-viscoelastici e nei modelli semiconduttori Moore-Gibson-Thompson 27,28,29.

Gli effetti rotazionali sono un altro aspetto importante della termoelasticità generalizzata, poiché la rotazione introduce ulteriori forze di Coriolis e centripete che modificano notevolmente le caratteristiche di propagazione delle onde. Khan et ^al.30 hanno effettuato un'analisi di sensibilità del comportamento delle onde in solidi termoelastici rotanti sottoposti a carichi termici indotti da laser. Yadav³¹ ha studiato onde magnetotermoelastiche in mezzi ortotropi rotanti con effetti di diffusione, mentre Abouelregal et ^al.32 hanno esaminato risposte termoelastiche a ritardo frazionario a doppia fase in mezzi sollecitati rotanti contenenti cavità sferiche. Inoltre, Khan et ^al.33 hanno studiato la propagazione delle onde in uno spazio termoelastico poroso rotante sotto un modello di ritardo trifase frazionario non locale. Le influenze rotazionali sulle nanostrutture termoelastiche dei semiconduttori sono state inoltre esaminate da Abo-Dahab et ^al.34, che hanno dimostrato che la rotazione può alterare significativamente le distribuzioni termiche e meccaniche del campo. Nonostante questi sforzi, gli effetti rotazionali sono stati raramente studiati contemporaneamente con anisotropia, rinforzo a fibre, eccitazione ottica, trasporto dei portatori e interazioni del campo magnetico all'interno di un quadro semiconduttore unificato.

Sebbene siano stati raggiunti progressi sostanziali negli studi menzionati, la maggior parte delle indagini esistenti si è concentrata su combinazioni selezionate di effetti fototermoelastici, magnetici, rotazionali o di rinforzo. Un modello analitico completo che incorpori simultaneamente eccitazione ottica, dinamica del trasporto dei portatori, anisotropia, rinforzo delle fibre, interazioni del campo magnetico e influenze rotazionali in un mezzo semiconduttore rimane in gran parte indisponibile. Pertanto, è ancora necessario un formulamento unificato che descriva accuratamente l'accoppiamento reciproco tra questi meccanismi fisici e chiarisca la loro influenza combinata sulla propagazione delle onde.

Motivato da queste osservazioni, il presente lavoro sviluppa un modello analitico bidimensionale per indagare la propagazione delle onde magneto-foto-termoelastiche in uno spazio semiconduttore anisotropo e in rotazione, rinforzato da fibre, sottoposto a eccitazione ottica. Le equazioni di governo sono formulate all'interno di un quadro unificato che incorpora campi termici, meccanici, di densità portante ed elettromagnetici, e vengono risolte utilizzando la tecnica della modalità normale insieme all'approccio degli autovalori. È degno di nota che Alaofi et ^al.35 hanno recentemente studiato la risposta termo-fotoelastica accoppiata del silicio anisotropico rinforzato con fibre utilizzando una formulazione degli autovalori. Tuttavia, gli effetti del campo magnetico e i contributi rotazionali non sono stati considerati nel loro modello. La novità del presente lavoro risiede nell'ampliare tale formulazione incorporando simultaneamente interazioni magnetiche, effetti rotazionali, dinamiche del trasporto dei portatori, rinforzi anisotropici ed eccitazione ottica all'interno di un unico quadro magneto-foto-termoelastico. Di conseguenza, il modello proposto fornisce una descrizione più completa dei fenomeni di propagazione delle onde accoppiate e consente una valutazione dettagliata dell'influenza combinata di intensità magnetica e rotazione sui campi fisici di interesse. A differenza di Alaofi et ^al.35, che consideravano la risposta termo-fotoelastica di un semiconduttore anisotropo rinforzato con fibre senza campo magnetico e effetti rotazionali, la presente formulazione incorpora l'interazione simultanea di rotazione, campo magnetico, eccitazione ottica, trasporto di portatori e rinforzo anisotropico all'interno di un quadro unificato. Inoltre, l'implementazione degli autovalori viene estesa a questo sistema accoppiato più generale, permettendo l'analisi degli effetti fisici accoppiati non affrontati nel modello precedente. Inoltre, una caratteristica distintiva del presente lavoro è l'implementazione dell'approccio ai valori propri. Mentre molti studi correlati, tra cui Alaofi et ^al.35, si basano su procedure di eliminazione per ridurre il sistema di governo prima di ottenere la soluzione, la presente formulazione è costruita e risolta utilizzando un quadro di autovalori basato su matrici. Questa implementazione viene applicata a un sistema accoppiato più generale che coinvolge rotazione, campo magnetico, eccitazione ottica, trasporto di portatori e rinforzo della fibra, estendendo così l'ambito dei modelli precedentemente pubblicati.

Protocollo

Il presente lavoro si basa interamente su modellazione analitica, calcolo simbolico e simulazioni numeriche per indagare le interazioni magneto-foto-termoelastiche rotanti accoppiate in mezzi semiconduttori anisotropi. Non sono stati coinvolti partecipanti umani, esperimenti sugli animali, dati clinici o campioni biologici. Pertanto, non erano necessarie approvazioni etiche e consenso informato.

Formulazione matematica del problema magneto-foto-termoelastico in uno spazio semiconduttore anisotropico a rotazione rinforzato con fibre

Nel presente studio, viene studiato uno spazio semiconduttore bidimensionale e rotante e rinforzato con fibre, sotto eccitazione ottica e campo magnetico applicato. Il mezzo occupa la regione semi-infinita x ≥ 0, dove il bordo in x = 0 rappresenta la superficie esposta sottoposta a carichi ottici esterni. Il sistema di coordinate è scelto in modo che l'asse x - si estenda nel mezzo, mentre l'asse y - si estenda lungo la superficie, rappresentando il comportamento in piano della struttura. Il campo magnetico applicato e il vettore velocità angolare sono entrambi preso lungo l'asse z - . Si assume che il mezzo semiconduttore sia omogeneo ed elastico linearemente, mentre l'anisotropia viene introdotta tramite fibre di rinforzo allineate incorporate nella direzione x. L'assorbimento ottico al confine produce riscaldamento localizzato e portatori di carica in eccesso, risultando in interazioni termiche, meccaniche e portatori accoppiate all'interno del mezzo. Inoltre, il campo magnetico introduce effetti di accoppiamento elettromagnetico, mentre il moto rotazionale contribuisce con effetti inerziali che influenzano significativamente la propagazione delle onde termoelastiche e la risposta fisica complessiva. Di conseguenza, lo stato fisico del mezzo è rappresentato dal campo di temperatura T(x, y, t)(K), dalla densità dei portanti N(x, y, t)(^m-3) e dalle componenti di spostamento u(x, y,t)(m) e v(x,y,t)(m), assumendo piccole deformazioni. La Figura 1 illustra la geometria del problema, inclusi il sistema di coordinate, l'eccitazione ottica, il campo magnetico, l'effetto rotazionale e l'orientamento della fibra. La presente formulazione è applicabile a mezzi semiconduttori omogenei anisotropi rinforzati con fibre che operano all'interno del regime di piccole deformazioni e nel quadro della termoelasticità lineare. Il modello assume un'orientazione fissa della fibra e proprietà costanti del materiale in tutto il mezzo. Di conseguenza, il comportamento non lineare dei materiali, le grandi deformazioni, i danni ai materiali e le variazioni spaziali delle proprietà dei materiali non sono considerati nello studio attuale. Pertanto, il modello proposto è destinato a condizioni di carico moderate in cui la risposta rimane nell'intervallo lineare. Nel presente studio, l'eccitazione ottica viene modellata utilizzando condizioni al contorno prescritte per la temperatura superficiale e la densità di portatori fotogenerate. Il processo dettagliato di interazione laser-materia, inclusi assorbimento ottico, profondità di penetrazione e distribuzione dell'intensità, non viene trattato esplicitamente. Invece, il suo effetto netto è rappresentato dalle ampiezze al confine θ₀ e N₀, che caratterizzano le eccitazioni termiche e portanti indotte dal campo ottico incidente.

Figura 1: Rappresentazione schematica del semi-spazio semiconduttore anisotropico in rotazione rinforzato con fibre, sottoposto a eccitazione ottica e a un campo magnetico esterno. La figura illustra la configurazione fisica del problema, inclusi il sistema di coordinate, l'eccitazione ottica, il campo magnetico applicato, l'orientamento della fibra e gli effetti rotazionali considerati nella presente formulazione. Clicca qui per visualizzare una versione più grande di questa figura.

La relazione costitutiva per il tensore di stress in un mezzo semiconduttore termoelastico anisotropico rinforzato con fibre può essere espressa nella forma generalizzata come^segue: 12,15,16.

(1)

Qui, σ_ij indica le componenti del tensore di sforzo, C_ijkl sono i coefficienti di rigidità elastica, e_kl rappresenta il tensore di deformazione, T è l'incremento di temperatura rispetto alla temperatura di riferimento T₀, e N indica la densità di portante in eccesso. I tensori β_ij e η_ij corrispondono rispettivamente ai coefficienti di accoppiamento termoelastico e portante. Di conseguenza, la relazione costitutiva che include l'influenza esplicita del rinforzo delle fibre può essere scritta^{come 12,15}:

(2)

In questa formulazione, λ e μ_T sono le costanti elastiche di Lamé, mentre μ_L indica il modulo di taglio longitudinale lungo la direzione della fibra. I parametri α e β descrivono gli effetti di rinforzo associati alle fibre incorporate. La quantità δ_ij è il simbolo delta di Kronecker, e a_i sono le componenti del vettore unitario che definisce l'orientamento della fibra. Per il modello attuale, le fibre di rinforzo sono allineate lungo la direzione x in modo che a = (1,0). I termini che coinvolgono β_ijθ e η_ijN rappresentano rispettivamente effetti di accoppiamento termico e di portante. Per la configurazione bidimensionale attuale, le componenti governanti delle tensioni si riducono alle seguenti forme^12,15:

.    (3)

.    (4)

.    (5)

Qui, e indicano le componenti di spostamento lungo le direzioni x - e y rispettivamente, mentre A_ij sono i coefficienti elastici efficaci del mezzo anisotropico rinforzato con fibre. I coefficienti di accoppiamento termoelastico e di portatore sono definiti come segue

,

,

,

.

Nelle relazioni sopra, α_ij rappresentano i coefficienti di espansione termica, mentre ξ_ij indicano i coefficienti di espansione dei portanti associati al mezzo semiconduttore. I coefficienti elastici efficaci del mezzo anisotropo rinforzato con fibre sono dati da

, , , .

Questi coefficienti caratterizzano la risposta elastica anisotropa del materiale semiconduttore rinforzato e descrivono come l'orientamento della fibra influenzi il comportamento termoelastico accoppiato. Per spiegare l'influenza delle interazioni elettromagnetiche nella formulazione attuale magneto-foto-termoelastica, si assume che venga applicato un campo magnetico uniforme lungo la direzione z, che è normale al piano x - y di deformazione. Di conseguenza, il vettore campo magnetico è considerato nella forma ^23,25 , , dove H₀ indica l'intensità costante del campo magnetico. Poiché la formulazione attuale è limitata a deformazioni bidimensionali, il campo di spostamento del mezzo è preso come , dove e rappresentano le componenti di spostamento lungo le direzioni x e y, rispettivamente.

Sotto l'assunzione di piccole deformazioni e di un mezzo semiconduttore elettricamente a lenta mobilità, l'interazione tra la velocità della particella e il campo magnetico applicato genera un campo elettrico indotto.

Basandosi sulle relazioni elettromagnetiche di Maxwell per i mezzi conduttivi in movimento, il vettore campo elettrico indotto può essere espresso come^19,23

.     (6)

dove μ₀ indica la permeabilità magnetica ed è il vettore velocità delle particelle. Sostituendo le espressioni di e nella relazione sopra si ottiene

.    (7)

che dà

.   (8)

Prendendo la derivata temporale del campo elettrico indotto, otteniamo

. (9)

Il vettore di perturbazione magnetica generato dalla deformazione del mezzo semiconduttore è definito come²³˒²⁵

. (10)

L'espressione sopra soddisfa automaticamente la condizione di divergenza di Maxwell per il campo di perturbazione magnetica, ovvero

. (11)

Per determinare la densità della corrente elettrica, si valuta prima il rotore del vettore di perturbazione magnetica. In forma determinante, l'operatore di rotazione può essere scritto come²³

. (12)

Espandere il determinante porta a

. (13)

Il vettore di densità di corrente elettrica viene quindi ottenuto dall'equazione^{elettromagnetica 23} di Maxwell

. (14)

dove ε₀ indica la permittività elettrica del mezzo.

La forza del corpo elettromagnetico che agisce sul mezzo semiconduttore è determinata utilizzando la relazione di forza^{di Lorentz 23}

. (15)

Il prodotto vettoriale può essere valutato in forma determinante come

. (16)

Sostituendo le espressioni precedenti nell'Eq. (15), le componenti del vettore forza del corpo elettromagnetico diventano

. (17)

. (18)

Queste relazioni indicano chiaramente che il campo magnetico applicato contribuisce con ulteriori meccanismi di accoppiamento alle equazioni governanti sia attraverso termini elettromagnetici simili alla rigidità sia termini inerziali modificati proporzionali a . Di conseguenza, il campo magnetico influisce significativamente sulle caratteristiche di propagazione delle onde termoelastiche e sul comportamento dinamico complessivo del mezzo semiconduttore anisotropo rinforzato con fibre. Oltre agli effetti elettromagnetici, l'influenza della rotazione è incorporata nella formulazione attuale per descrivere la risposta dinamica del mezzo quando osservata da un sistema di riferimento rotante. Si assume che il mezzo semiconduttore rinforzato con fibre suba una rotazione uniforme del corpo rigido con un vettore di velocità angolare costante dato^{da 33} , dove indica la velocità angolare costante attorno all'asse z . Poiché l'asse di rotazione è normale al piano x - y , quando le equazioni del moto vengono formulate in un sistema di coordinate rotanti, si verificano accelerazioni inerziali aggiuntive a causa della natura non inerziale del sistema di riferimento rotante. Queste accelerazioni consistono principalmente nelle accelerazioni di Coriolis e centrifughe. L'accelerazione di Coriolis è associata al campo di velocità delle particelle ed è espressa come³¹˒³³

. (19)

Sostituendo le espressioni di e , otteniamo

. (20)

Pertanto, l'accelerazione di Coriolis diventa

. (21)

L'accelerazione centrifuga dipende direttamente dal campo di spostamento stesso ed è rappresentata da^31,35

. (22)

Per prima cosa, il prodotto vettoriale è valutato come

. (23)

Quindi, sostituendo il risultato ottenuto nella relazione di accelerazione centrifuga si ottiene

. (24)

Di conseguenza, il contributo rotazionale totale che appare nelle equazioni governanti può essere espresso come

. (25)

Di conseguenza, le componenti di accelerazione rotazionale nelle direzioni x e y diventano

, (26)

. (27)

Le espressioni sopra mostrano che il moto rotazionale introduce un ulteriore accoppiamento tra le componenti di spostamento tramite l'accelerazione di Coriolis, oltre agli effetti inerziali dipendenti dallo spostamento dovuti all'accelerazione centrifuga. Pertanto, l'azione combinata del campo magnetico e della rotazione produce modifiche significative alla risposta dinamica e alle caratteristiche di propagazione delle onde del mezzo semiconduttore anisotropo rinforzato con fibre rotanti. Per incorporare l'influenza combinata delle interazioni elettromagnetiche e del moto rotazionale, le equazioni del moto per il mezzo semiconduttore anisotropo rinforzato con fibre sono generalizzate includendo sia la forza del corpo elettromagnetico sia le accelerazioni inerziali aggiuntive che si verificano in un sistema di riferimento rotante. Di conseguenza, l'equazione generale del moto per un continuo rotante deformabile può essere espressa come^{segue 31}˒³²

. (28)

Qui, ρ indica la densità di massa, e F_i rappresenta le componenti della forza elettromagnetica del corpo. Inoltre, indica il vettore velocità angolare del sistema di riferimento rotante. Le Equalizzazioni. (22) e (24) corrispondono rispettivamente alle accelerazioni di Coriolis e centrifughe. Le equazioni del moto nelle direzioni x e y possono essere scritte come

. (29)

. (30)

Sostituendo le componenti della forza del corpo elettromagnetico precedentemente ottenute nelle equazioni sopra si ottiene

. (31)

. (32)

Successivamente, sostituendo le relazioni costitutive corrispondenti al mezzo semiconduttore anisotropico rinforzato con fibre nelle equazioni sopra ottengono le equazioni accoppiate del moto in termini delle componenti di spostamento, del campo di temperatura e della densità dei^{portatori 32}

. (33)

. (34)

Infine, usando l'espressione del campo di perturbazione magnetica data in precedenza nell'Equazione (15), e sostituendola nelle equazioni sopra, le equazioni governanti del moto possono essere scritte nella loro forma finale accoppiata come

. (35)

. (36)

Queste equazioni rivelano l'influenza accoppiata degli effetti rotazionali e del campo magnetico sulla risposta termoelastica del mezzo. I termini rotazionali tengono conto sia dei contributi di Coriolis che centrifugi, mentre il campo magnetico introduce un ulteriore accoppiamento elettromagnetico e modifica il comportamento dinamico del sistema. Di conseguenza, le equazioni governanti stabiliscono un quadro unificato per analizzare la propagazione d'onda e le interazioni multifisiche nei semiconduttori magneto-foto-termoelastici rotanti rinforzati con fibre. In eccitazione ottica, il comportamento termico del mezzo semiconduttore è significativamente influenzato dall'interazione tra conduzione del calore, trasporto dei portatori e deformazione meccanica, portando un processo termo-fotoelastico fortemente accoppiato. A differenza del modello classico di conduzione termica, la distribuzione della temperatura nei materiali semiconduttori è influenzata non solo dalla diffusione termica, ma anche dalla ricombinazione dei portatori e dall'accoppiamento termoelastico. Di conseguenza, l'equazione generalizzata di conduzione del calore per il mezzo semiconduttore anisotropo rinforzato con fibre può essere espressa come^{segue 7}˒²³.

. (37)

L'equazione sopra dimostra chiaramente che il campo termico all'interno del mezzo semiconduttore magneto-foto-termoelastico rotante è governato dall'influenza combinata della conduzione termica anisotropa, dei processi di ricombinazione dei portatori e delle interazioni termoelastiche. Il termine descrive l'energia termica generata dalla ricombinazione dei portatori sotto eccitazione ottica, mentre i termini di accoppiamento che coinvolgono e indicano l'influenza della deformazione meccanica dipendente dal tempo sulla risposta termica del mezzo. Di conseguenza, il campo termico diventa fortemente accoppiato sia con la densità dei portanti sia con il campo elastico, che svolge un ruolo importante nelle caratteristiche di propagazione delle onde termoelastiche nei materiali semiconduttori rinforzati con fibre. Nella formulazione attuale, l'evoluzione della concentrazione di portatori N(x, y, t) all'interno del mezzo semiconduttore è governata dagli effetti combinati della diffusione dei portatori, dei processi di ricombinazione e dell'attivazione termica generata dall'eccitazione ottica. Di conseguenza, l'equazione del trasporto dei portanti che descrive la dinamica dei portatori fuori equilibrio può essere scritta come^{segue 4,23}

. (38)

Qui, D_E indica il coefficiente di diffusione dei portanti, mentre rappresenta l'operatore laplaciano bidimensionale nel piano x -y . Il termine corrisponde all'effetto di ricombinazione del portante associato alla durata della portante τ. Inoltre, κ è il parametro di accoppiamento termo-portatore definito da , dove N₀ indica la concentrazione di portatori in equilibrio. Il termine di accoppiamento κT descrive l'influenza del campo di temperatura sulla generazione di portatori in eccesso all'interno del mezzo semiconduttore. L'equazione sopra dimostra che la concentrazione dei portatori è fortemente accoppiata con il campo termico tramite meccanismi di generazione di portatori attivati termicamente. Di conseguenza, la dinamica dei portatori diventa fortemente dipendente sia dagli effetti di diffusione termica che da quelli di ricombinazione, che influenzano significativamente la risposta fototermoelastica accoppiata del mezzo semiconduttore anisotropo rinforzato con fibre rotanti. Le equazioni governanti e la formulazione matematica del sistema semiconduttore accoppiato magneto-foto-termoelastico sono ormai state completamente stabilite. I parametri fisici e materiali per il mezzo di silicio sono riassunti nella Tabella 2, insieme ai loro valori numerici, unità e riferimenti corrispondenti. Questi parametri vengono successivamente utilizzati nei calcoli numerici e nella procedura di non dimensionalizzazione.

Formulazione adimensionale del modello rotante magneto-fototermoelastico a semiconduttore rinforzato con fibre

Per semplificare le equazioni governanti e ottenere una rappresentazione matematica compatta del sistema magneto-foto-termoelastico rotante accoppiato, vengono introdotte scale caratteristiche appropriate per non dimensionalizzare le variabili fisiche. Questa procedura di non dimensionalizzazione riduce il numero di parametri regolatori del materiale e facilita il trattamento analitico e numerico delle equazioni accoppiate. Le grandanze caratteristiche selezionate sono scelte in modo coerente con le proprietà termoelastiche, elettromagnetiche, rotazionali e di trasporto dei portatori del mezzo^{semiconduttore 16,21} Di conseguenza, vengono introdotte le seguenti variabili adimensionali:

, , , , , , .

Qui, C_T indica la caratteristica velocità dell'onda elastica, mentre t* rappresenta il tempo caratteristico di rilassamento termico associato al processo termoelastico accoppiato. Inoltre, il parametro definisce il parametro rotazionale non dimensionale che caratterizza l'influenza del moto rotazionale sul comportamento dinamico del mezzo. Sostituendo le quantità adimensionali sopra con le equazioni governanti precedentemente derivate trasforma il sistema accoppiato in forma normalizzata. Questa trasformazione semplifica notevolmente la struttura matematica delle equazioni e fornisce un quadro adeguato per indagare gli effetti combinati del campo magnetico, dell'eccitazione ottica, della rotazione, dell'anisotropia e delle interazioni portante-trasporto. Per semplicità, la notazione prima associata alle quantità adimensionali viene omessa nell'analisi successiva. Di conseguenza, le equazioni governanti del sistema magneto-foto-termoelastico rotante accoppiato possono essere scritte nella seguente forma^{adimensionale 16,20}:

, (39)

, (40)

, (41)

. (42)

Le corrispondenti componenti di stress non dimensionali del mezzo semiconduttore anisotropo rotante rinforzato con fibre sono ottenute come segue:

, (43)

, (44)

. (45)

I coefficienti non dimensionali a₍i = 1,2,...,18) rappresentano combinazioni dei parametri fisici, termici, elettromagnetici, portanti e rotazionali del mezzo semiconduttore accoppiato. Questi coefficienti caratterizzano l'influenza dell'anisotropia, del rinforzo delle fibre, del campo magnetico, dell'accoppiamento termoelastico, del trasporto dei portatori e del moto rotazionale sul comportamento complessivo del sistema. Di conseguenza, le equazioni di governo non dimensionali ottenute forniscono un modello matematico compatto ed efficiente per analizzare i fenomeni di propagazione delle onde accoppiate e le interazioni multifisiche nei mezzi semiconduttori a fibra rinforzati con magneto-foto-termoelastici rotanti. I parametri non dimensionali a_i, γ_i e δ_i sono stati introdotti per rappresentare combinazioni compatte delle proprietà fisiche e materiali che governano il comportamento magneto-foto-termoelastico rotante accoppiato del mezzo semiconduttore anisotropico rinforzato con fibre. Ogni coefficiente riflette un meccanismo di interazione specifico all'interno del sistema accoppiato e fornisce una visione dell'influenza relativa dei processi fisici sottostanti. Per chiarezza, i parametri adimensionali e le relative definizioni sono riassunti nella Tabella 1.

Tabella 1: Definizioni e interpretazioni fisiche dei parametri adimensionali utilizzati nella presente formulazione. La tabella riassume i parametri adimensionali presenti nelle equazioni di governo insieme ai loro significati fisici e ai loro ruoli nella descrizione delle interazioni accoppiate termoelastiche, elettromagnetiche, di densità portanti e rotazionali. Clicca qui per scaricare questa tabella.

Soluzione analitica usando la tecnica della modalità normale

Per derivare la soluzione analitica del sistema magneto-foto-termoelastico rotante accoppiato, si utilizza la tecnica della modalità normale. Questo metodo è ampiamente utilizzato nelle teorie della termoelasticità generalizzata e dei semiconduttori grazie alla sua efficacia nel trasformare le equazioni differenziali parziali accoppiate in un sistema ridotto di equazioni differenziali ordinarie. Tale approccio è particolarmente utile nell'analisi della propagazione d'onda, dell'attenuazione e delle interazioni multifisiche in mezzi semiconduttori anisotropi. Seguendo l'analisi dei modi normali, si assume che tutte le grandenze di campo fisiche varino armonicamente rispetto al tempo e alla coordinata spaziale trasversale . Di conseguenza, il campo di temperatura, la densità dei portanti, le componenti di spostamento e le quantità di stress sono rappresentati nella forma^{esponenziale 24,27}

. (46)

Qui, ω indica il parametro di frequenza complesso che governa la variazione temporale dei campi fisici. La parte reale di ω è associata all'attenuazione temporale (o crescita) dell'ampiezza d'onda, mentre la parte immaginaria rappresenta il comportamento oscillatorio del modo di propagazione. Queste interpretazioni sono coerenti con l'analisi convenzionale della modalità normale adottata nel presente studio, mentre a rappresenta il numero d'onda associato alla variazione spaziale lungo la direzione y. Le quantità , e corrispondono alle ampiezze di campo che dipendono solo dalla coordinata spaziale x. Sostituendo le rappresentazioni in modo normale sopra indicate nelle equazioni governanti non dimensionali precedentemente ottenute e semplificando le espressioni risultanti, il sistema differenziale parziale accoppiato originale viene trasformato in un insieme di equazioni differenziali ordinarie rispetto alla coordinata spaziale x. Di conseguenza, le equazioni governanti nel dominio trasformato assumono la seguente forma:

, (47)

, (48)

, (49)

. (50)

Inoltre, le corrispondenti componenti trasformate delle tensioni si ottengono come

, (51)

, (52)

. (53)

Qui, , indica l'operatore differenziale rispetto alla coordinata spaziale . Il sistema trasformato ottenuto costituisce la base matematica per costruire l'equazione caratteristica e derivare la soluzione analitica completa del problema magneto-foto-termoelastico rotante accoppiato. I coefficienti che compaiono nelle equazioni trasformate sono definiti come segue:

, , , , , , .

Questi coefficienti contengono i contributi combinati dell'elasticità anisotropica, dell'interazione del campo magnetico, dell'accoppiamento termico, del trasporto dei portatori e degli effetti rotazionali. Pertanto, il sistema trasformato fornisce una rappresentazione compatta adatta per ottenere le radici caratteristiche e indagare il comportamento di propagazione delle onde accoppiate all'interno del mezzo semiconduttore rinforzato con fibre rotanti.

File supplementare 1: Soluzione analitica usando la forma matriciale. Questo file contiene la formulazione dettagliata della matrice, la procedura di soluzione degli autovalori, la derivazione delle equazioni caratteristiche e i passaggi analitici intermedi utilizzati per ottenere la soluzione generale del modello accoppiato magneto-foto-termoelastico. Clicca qui per scaricare questo file.

La formulazione dettagliata della matrice, la procedura di soluzione degli autovalori e la derivazione delle equazioni caratteristiche sono fornite nel Supplementary File 1.

Condizioni al contorno e determinazione delle costanti sconosciute

Per completare la formulazione analitica, le soluzioni generali ottenute venivano sostituite nelle condizioni al contorno prescritte imposte alla superficie x = 0. Questa sostituzione generò un sistema algebrico accoppiato che coinvolge le costanti di ampiezza sconosciute . Ogni requisito al bordo associato a temperatura, densità di portante, spostamento meccanico e vincoli di stress è stato espresso in termini degli automodi ammissibili, fornendo un insieme lineare di equazioni che collegano i coefficienti . Per comodità, il sistema algebrico risultante fu riscritto in forma matriciale compatta come BC = D, dove B indica la matrice di coefficienti costruita dalle componenti autovettoriali valutate alla superficie di contorno, rappresenta il vettore di costanti sconosciute, e D corrisponde al vettore generato dalle condizioni al contorno imposte, incluso il parametro di carico termico θ₀, il termine di eccitazione del portatore N₀ e le condizioni di spostamento prescritte. Dopo aver valutato queste costanti, sono state sostituite nuovamente nelle espressioni generali delle variabili di campo per ottenere le soluzioni analitiche complete. Queste espressioni furono successivamente impiegate nei calcoli numerici e nella visualizzazione grafica dei campi termoelastici, di densità di portatori e di spostamento all'interno del mezzo semiconduttore anisotropo rinforzato con fibre rotanti. Le condizioni al contorno adottate rappresentano una superficie semiconduttore illuminata otticamente sottoposta a eccitazioni termiche e portanti simultanee. La condizione di temperatura prescritta modella il carico termico generato dal campo ottico incidente, mentre la condizione di densità portante tiene conto dei portatori in eccesso generati da fotogenerazioni prodotte dall'illuminazione ottica. Inoltre, il vincolo di spostamento trasversale rappresenta il confinamento meccanico della superficie nella direzione -, mentre la condizione di tensione di taglio nullo corrisponde a un bordo tangenzialmente privo di trazione. Di conseguenza, le condizioni al contorno miste termiche, elettroniche e meccaniche selezionate forniscono una rappresentazione fisicamente coerente delle interazioni foto-termoelastiche accoppiate sulla superficie del semiconduttore e forniscono i vincoli necessari per determinare le costanti sconosciute della soluzione. Le condizioni al contorno imposte sono indicate come segue:

Vincolo di temperatura:

. (78)

Questa condizione rappresenta una temperatura superficiale armonicamente variabile indotta da un riscaldamento ottico periodico. Agisce come principale eccitazione termica che guida i processi termoelastici accoppiati e di trasporto dei portatori all'interno del mezzo. L'ampiezza θ₀ caratterizza l'intensità del carico termico applicato.

Vincolo di densità di portante:

. (79)

Questa condizione al contorno descrive la densità di portanti fotogenerata risultante dall'illuminazione ottica. Riflette l'eccitazione elettronica dovuta all'assorbimento dei fotoni e alla sua modulazione armonica coerente con il campo ottico incidente.

Vincolo di spostamento:

. (80)

Questa condizione indica che il confine è vincolato meccanicamente nella direzione trasversale. Pertanto, non si verifica uno spostamento lungo la direzione - sulla superficie.

Vincolo di sforzo di taglio (hot):

. (81)

Questa condizione corrisponde a un bordo privo di trazione rispetto allo sforzo di taglio. Garantisce che nessuna forza tangenziale agisca sulla superficie, il che è coerente con un bordo meccanicamente libero nella direzione tangenziale. Oltre alle condizioni al contorno a x = 0, il requisito fisico all'infinito era imposto come: garantire soluzioni fisiche limitate all'interno del dominio semi-infinito. Per fornire una panoramica chiara della procedura analitica e computazionale adottata nel presente studio, i principali passaggi della metodologia della soluzione sono riassunti nella Figura 2.

Figura 2: Diagramma di flusso della procedura di soluzione analitica adottata nel presente studio, inclusa la formulazione delle equazioni governanti, l'analisi delle modalità normali, la soluzione degli autovalori, l'applicazione delle condizioni al contorno e la valutazione delle variabili fisiche del campo. Il diagramma riassume i principali passaggi computazionali per ottenere la soluzione analitica e successivamente valutare numericamente la risposta accoppiata magneto-foto-termoelastica. Clicca qui per visualizzare una versione più grande di questa figura.

Risultati

Per ottenere i risultati numerici presentati in questo studio, il silicio (Si) è stato selezionato come materiale rappresentativo per semiconduttori grazie alla sua ampia applicabilità nelle applicazioni di ingegneria dei semiconduttori e termoelastiche. Le proprietà dei materiali fisici, termiche, elastiche, elettromagnetiche e relative ai portanti impiegate nei calcoli sono riassunte nella Tabella 2. Queste costanti materiali venivano sostituite nelle equazioni di gove...

Discussione

Analisi dell'ammissibilità, stabilità e limitazione dei valori propri

L'ammissibilità degli autovalori ottenuti è regolata dal requisito fisico che tutte le variabili di campo rimangano limitate nel dominio semi-infinito x ≥ 0. L'autosoluzione generale è espressa in termini di modi esponenziali della forma . Di conseguenza, il comp...

Materiali

Elenco dei materiali utilizzati in questo articolo

Nome	Azienda	Numero di catalogo	Commenti
Software computazionale (analisi simbolica e numerica)	Wolfram Research	Wolfram Mathematica (Versione 12.0) è stato utilizzato	Usato per il calcolo degli autovalori, l'implementazione della soluzione analitica e la valutazione numerica
Dataset di parametri dei materiali (proprietà dei semiconduttori di silicio)	Varie fonti letterarie	N/A	Costanti fisiche (elastiche, termiche, legate ai portatori) utilizzate nei calcoli (Tabella 1)
Computer personale/stazione di lavoro	HP	N/A	I calcoli sono stati eseguiti su un computer personale standard con sistema operativo Windows e memoria sufficiente per le simulazioni numeriche
Editor di equazioni	Microsoft  Word e MathType	N/A	Usato per la formattazione e la presentazione delle espressioni matematiche nel manoscritto
Software di gestione delle referenze	Elsevier	N/A	Usato per gestire le referenze e formattare le citazioni (stile Vancouver)