Integrating Radicals with Rational Substitution

Integrating radicals can be easier when a rationalizing substitution turns the expression into a rational form. This method is useful when standard techniques do not work well because the integrand contains a radical, such as a cube root.

The transcript uses a rod as a real-world example. Its lin...

有理関数でない積分は標準的な方法では評価が難しい。

線形質量密度が一定の線密度、特性の長さ、左側からの距離で与えられる棒を考えます。

目的は棒の質量を求めることであり、そのためにこの密度関数を棒の長さに積分する必要があります。

立方根は積分を複雑にするため、合理化の置換が役立ちます。

新しい変数 u を導入し、u を x の立方根に等しいと定義すると、式は有理形に変換されます。これから 、x は uの立方として取ることができ、微分dxはそれに応じて導かれます。積分の限界は新しい変数に合わせて調整されます。

これらの式を積分に代入すると、完全に uで書かれた方...