ガウスの法則: 円筒対称性

無限に長い異なる直線円柱を考えてみて、それぞれが異なる電荷分布を持っているとします。

これらのうち、電荷密度が回転しても変化せず、軸の長さに沿って変化しない系だけが円筒形の対称性を持っています。それに比べて、他のものは円筒対称性を持っていません。

円筒対称の電荷分布がある場合、電束を得るために円筒状のガウス面が構築されます。

この表面の湾曲部分を通る電界は、面積ベクトルに平行であり、円周と長さにわたって同じ大きさを持ちます。これにより、湾曲部上の磁束が得られます。

平坦な端を通る電界は面積ベクトルに垂直であるため、磁束はゼロになります。両方を組み合わせることにより、ガウス面を通る全磁束が得られます。

電荷密度はガウス円筒長にわたって一定であるため、囲まれた電荷は線電荷密度と円柱長の積です。

ガウスの法則によれば、電界の大きさが得られ、これは線電荷からの距離に反比例して変化します。