ポアソンとラプラスの方程式

ベクトル表記では、電界は電位の負の勾配として表されます。ここで、電位の勾配は常に電位の最も急な減少を指し、その解はベクトル(電場)を与えます。

ガウスの法則の微分形式によれば、電場の勾配は、自由空間誘電率に対する囲まれた体積電荷密度の比に等しくなります。

ガウスの法則でポテンシャルの勾配を代入すると、ポアソン方程式の式が得られます。ここで、スカラーポテンシャルの勾配の発散はラプラシアン演算子であり、スカラー関数になります。

ラプラシアンは、スカラー量の2次微分に類似しています。電位については、局所的な極小値に近いほど低く、局所的な最大値に近いほど高くなります。

囲まれた体積電荷がゼロの場合、ポアソン方程式はラプラス方程式に還元されます。

ラプラスの方程式は、表面の境界でのポテンシャルが指定されている場合、与えられた体積に一意な解を持ちます。これは最初の一意性定理によって与えられます。