不均一に帯電した球の電場

半径Rの非導電性球を考えます。球は、放射状に変化する不均一な電荷密度を持っています。したがって、球対称の電荷分布を持っています。

電荷密度が不均一であるため、球体内に厚さ 'dr' の極小球面シェルを考えます。

シェルに含まれる電荷は、電荷密度とシェルの体積の積です。

電荷分布の外側にある点Pでの電場を決定するには、半径r'のガウス面を考えます。

ここでは、ガウス面と球面の間の領域には電荷キャリアがありません。したがって、ガウス面で囲まれた正味の電荷は、シェルに含まれる電荷を球の半径にわたって積分することによって得られます。

電場方程式に正味電荷を代入すると、球の外側の点に電界が与えられます。

同様に、電荷分布内の点の場合、囲まれた正味電荷は、ガウス表面で囲まれた電荷の積分です。場の方程式に正味の電荷を代入すると、球の内側の点に電界が与えられます。