電場の発散とカール

ガウスの法則では、閉じた表面から出る磁束は、その中に含まれる総電荷に等しいと述べています。

総電荷を体積電荷密度で表すと、ガウスの法則の積分形式が得られます。

発散定理によれば、電場の閉面積分は、その発散の体積積分に等しくなります。これは、任意の体積について、被積分関数を等価にすると電場の発散が得られることを意味します。

電界の発散は、電界の源が存在することを示します。

電気力線は正の電荷から発散し、負の電荷で収束します。したがって、磁力線はそれ自体で循環することはできません。したがって、電界にはカールがありません。

ここで、電界の閉軌路について考えてみます。閉経路上の電界の線積分は、単純化するとゼロに等しくなります。

ストークスの定理は、電場のカールの表面積分が閉経路上の線積分に等しいと述べています。両方の方程式を比較すると、静電荷分布では電界のカールがゼロであることがわかります。