電荷分布に関連するエネルギー

ボリュームに囲まれた連続的な電荷分布を考えてみましょう。微小な電荷要素内の総電荷は、体積電荷密度の観点から書くことができます。

この連続電荷分布の構成で行われる作業または蓄積されるエネルギーは、体積電荷密度と対応する電位の統合によって与えられます。

ガウスの法則を使用し、積の法則を適用すると、方程式は電界の観点から書き直されます。

発散定理を適用し、電位勾配を電場に置き換えることにより、蓄積されたエネルギーは表面積分と体積積分の合計として表されます。

積分ボリュームが拡張されても、余分なボリュームの電荷密度はゼロであるため、磁束は長距離にわたって同じままです。ただし、表面積分は距離に反比例して減少するため、体積積分が増加して総エネルギーが保存されます。

最終的に、空間全体で積分すると、表面は積分ゼロになり、蓄積された総エネルギーは電界の大きさからのみ計算できることを意味します。